题目
8、一质点在x轴上作简谐振动,振幅A=4cm,周期T=2s,其平衡位置取作坐标原点.若t=0时刻质点第一次通过x= -2cm处,且向x轴负方向运动,则质点第二次通过x= -2cm处 的时刻为 [ ](A)2s (B)4/3 s (C) 1s (D)2/3 s
8、一质点在x轴上作简谐振动,振幅A=4cm,周期T=2s,其平衡位置取作坐标原点.若t=0时刻质点第一次通过x= -2cm处,且向x轴负方向运动,则质点第二次通过x= -2cm处 的时刻为 [ ]
(A)2s (B)4/3 s (C) 1s (D)2/3 s
(A)2s (B)4/3 s (C) 1s (D)2/3 s
题目解答
答案
【答案】
D
【解析】
根据题意可知，质点位置坐标x满足$x=A\cos \left(\dfrac{2\pi }{T}t+\varphi \right)$，当t为0时，$x=-2cm$，可得：$x=4\cos \left(\pi t+\dfrac{2}{3}\pi \right)\left(cm\right)$，则当$t=\dfrac{2}{3}s$时，x第二次等于$-2cm$，故D正确，ABC错误；
解析
步骤 1：确定简谐振动的方程
简谐振动的方程可以表示为$x=A\cos(\omega t + \varphi)$，其中$A$是振幅，$\omega$是角频率，$\varphi$是初相位。根据题目，振幅$A=4cm$，周期$T=2s$，所以角频率$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi rad/s$。因此，方程可以写为$x=4\cos(\pi t + \varphi)$。
步骤 2：确定初相位$\varphi$
根据题目，当$t=0$时，$x=-2cm$，且质点向x轴负方向运动。将$t=0$和$x=-2cm$代入方程$x=4\cos(\pi t + \varphi)$，得到$-2=4\cos(\varphi)$，解得$\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$。由于质点向x轴负方向运动，说明$\varphi$在第二象限，因此$\varphi=\frac{2}{3}\pi$。
步骤 3：确定质点第二次通过$x=-2cm$处的时刻
将$\varphi=\frac{2}{3}\pi$代入方程$x=4\cos(\pi t + \frac{2}{3}\pi)$，得到$x=4\cos(\pi t + \frac{2}{3}\pi)$。当$x=-2cm$时，$-2=4\cos(\pi t + \frac{2}{3}\pi)$，解得$\cos(\pi t + \frac{2}{3}\pi)=-\frac{1}{2}$。由于$\cos(\theta)=-\frac{1}{2}$在$[0,2\pi]$区间内有两个解，分别是$\theta=\frac{2}{3}\pi$和$\theta=\frac{4}{3}\pi$。因此，$\pi t + \frac{2}{3}\pi=\frac{4}{3}\pi$，解得$t=\frac{2}{3}s$。这是质点第二次通过$x=-2cm$处的时刻。
简谐振动的方程可以表示为$x=A\cos(\omega t + \varphi)$，其中$A$是振幅，$\omega$是角频率，$\varphi$是初相位。根据题目，振幅$A=4cm$，周期$T=2s$，所以角频率$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi rad/s$。因此，方程可以写为$x=4\cos(\pi t + \varphi)$。
步骤 2：确定初相位$\varphi$
根据题目，当$t=0$时，$x=-2cm$，且质点向x轴负方向运动。将$t=0$和$x=-2cm$代入方程$x=4\cos(\pi t + \varphi)$，得到$-2=4\cos(\varphi)$，解得$\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$。由于质点向x轴负方向运动，说明$\varphi$在第二象限，因此$\varphi=\frac{2}{3}\pi$。
步骤 3：确定质点第二次通过$x=-2cm$处的时刻
将$\varphi=\frac{2}{3}\pi$代入方程$x=4\cos(\pi t + \frac{2}{3}\pi)$，得到$x=4\cos(\pi t + \frac{2}{3}\pi)$。当$x=-2cm$时，$-2=4\cos(\pi t + \frac{2}{3}\pi)$，解得$\cos(\pi t + \frac{2}{3}\pi)=-\frac{1}{2}$。由于$\cos(\theta)=-\frac{1}{2}$在$[0,2\pi]$区间内有两个解，分别是$\theta=\frac{2}{3}\pi$和$\theta=\frac{4}{3}\pi$。因此，$\pi t + \frac{2}{3}\pi=\frac{4}{3}\pi$，解得$t=\frac{2}{3}s$。这是质点第二次通过$x=-2cm$处的时刻。