8、一质点在x轴上作简谐振动,振幅A=4cm,周期T=2s,其平衡位置取作坐标原点.若t=0时刻质点第一次通过x= -2cm处,且向x轴负方向运动,则质点第二次通过x= -2cm处 的时刻为 [ ]A. 2sB. 4/3 sC. 1sD. 2/3 s

考查要点：本题主要考查简谐振动的运动方程建立及相位分析，重点在于根据初始条件确定振动方程，并求解特定位置再次出现的时间。

解题核心思路：

1. 确定振动方程：根据振幅、周期写出简谐振动的一般形式，结合初始条件（位置和速度方向）确定相位角。
2. 解方程求时间：通过位移方程解出质点第二次经过指定位置的时间，需注意运动方向判断是否为“第二次”经过。

破题关键点：

• 相位角的确定：利用初始时刻的位置和速度方向，确定正确的相位角。
• 周期性分析：简谐振动的周期性导致同一位置会被多次经过，需通过解方程并结合运动方向筛选符合条件的时间。

确定振动方程

简谐振动的位移方程可写为：
$x = A \cos(\omega t + \phi)$
其中振幅 $A = 4 \, \text{cm}$，角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi \, \text{rad/s}$。

初始条件：

• $t = 0$ 时，$x = -2 \, \text{cm}$，代入方程得：
  $-2 = 4 \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = -\frac{1}{2}$
  解得 $\phi = \frac{2\pi}{3}$ 或 $\frac{4\pi}{3}$。

• 速度方向分析：速度 $v = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$，在 $t = 0$ 时速度为负，即：
  $-4\pi \sin(\phi) < 0 \implies \sin(\phi) > 0$
  因此 $\phi = \frac{2\pi}{3}$（第二象限）。

综上，振动方程为：
$x = 4 \cos\left(\pi t + \frac{2\pi}{3}\right)$

求第二次经过 $x = -2 \, \text{cm}$ 的时间

解方程：
$4 \cos\left(\pi t + \frac{2\pi}{3}\right) = -2 \implies \cos\left(\pi t + \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$
解得：
$\pi t + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{或} \quad \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

分析解：

1. 第一种情况：$\pi t = 2k\pi \implies t = 2k$。当 $k = 0$ 时，$t = 0$（第一次经过）；$k = 1$ 时，$t = 2 \, \text{s}$（第三次经过）。
2. 第二种情况：$\pi t = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies t = \frac{2}{3} + 2k$。当 $k = 0$ 时，$t = \frac{2}{3} \, \text{s}$（第二次经过）。

验证运动方向：
当 $t = \frac{2}{3} \, \text{s}$ 时，速度为：
$v = -4\pi \sin\left(\pi \cdot \frac{2}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) = -4\pi \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\sqrt{3}\pi > 0$
说明质点此时向正方向运动，符合“第二次经过”的条件。