题目
如图所示为一平面简谐波在 t=0 时刻的波形图,设此简谐波的频率为250 Hz,且此时质-|||-点P的运动方向向下,求:-|||-(1)该波的表达式;-|||-(2)在距原点O为100 m处质点的振动方程与振动速度的-|||-表达式.-|||-y/m↑-|||-sqrt (2)A/2 P-|||-0 x/m-|||-100-|||--A
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波的传播方向
由图可知，质点P在t=0时刻的位移为$\sqrt{2}A/2$，且运动方向向下。根据简谐波的传播特性，可以判断出波的传播方向为向左传播。
步骤 2：确定原点O处质点的振动方程
在t=0时刻，原点O处质点的位移为$\sqrt{2}A/2$，即$y_0 = A\cos(\phi)$，其中$\phi$为初相位。根据题意，此时质点的运动方向向下，即速度$v_0 = -A\omega\sin(\phi) < 0$。由此可以确定$\phi = \pi/4$。因此，原点O处质点的振动方程为$y_0 = A\cos(500\pi t + \pi/4)$。
步骤 3：确定波动表达式
由图可知，波长$\lambda = 200m$。根据波动方程的一般形式$y = A\cos(2\pi f t - kx + \phi)$，其中$f$为频率，$k$为波数，$\phi$为初相位。将已知条件代入，得到波动表达式为$y = A\cos(2\pi \times 250 t + \pi/4)$。
步骤 4：确定距原点O为100m处质点的振动方程
将$x = 100m$代入波动表达式，得到距原点O为100m处质点的振动方程为$y_1 = A\cos(500\pi t + 5\pi/4)$。
步骤 5：确定距原点O为100m处质点的振动速度表达式
根据振动方程$y_1 = A\cos(500\pi t + 5\pi/4)$，可以得到振动速度表达式为$v = -500\pi A\sin(500\pi t + 5\pi/4)$。
由图可知，质点P在t=0时刻的位移为$\sqrt{2}A/2$，且运动方向向下。根据简谐波的传播特性，可以判断出波的传播方向为向左传播。
步骤 2：确定原点O处质点的振动方程
在t=0时刻，原点O处质点的位移为$\sqrt{2}A/2$，即$y_0 = A\cos(\phi)$，其中$\phi$为初相位。根据题意，此时质点的运动方向向下，即速度$v_0 = -A\omega\sin(\phi) < 0$。由此可以确定$\phi = \pi/4$。因此，原点O处质点的振动方程为$y_0 = A\cos(500\pi t + \pi/4)$。
步骤 3：确定波动表达式
由图可知，波长$\lambda = 200m$。根据波动方程的一般形式$y = A\cos(2\pi f t - kx + \phi)$，其中$f$为频率，$k$为波数，$\phi$为初相位。将已知条件代入，得到波动表达式为$y = A\cos(2\pi \times 250 t + \pi/4)$。
步骤 4：确定距原点O为100m处质点的振动方程
将$x = 100m$代入波动表达式，得到距原点O为100m处质点的振动方程为$y_1 = A\cos(500\pi t + 5\pi/4)$。
步骤 5：确定距原点O为100m处质点的振动速度表达式
根据振动方程$y_1 = A\cos(500\pi t + 5\pi/4)$，可以得到振动速度表达式为$v = -500\pi A\sin(500\pi t + 5\pi/4)$。