题目
b-|||-a一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为a）和一同轴的导体圆管（内、外半径分别为b，c）构成，如图所示。使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回。设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：（1）导体圆柱内（r＜a），（2）两导体之间（a＜r＜b），（3）导体圆筒内（b＜r＜c），（4）电缆外（r＞c）各点处磁感应强度的大小。
一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为a）和一同轴的导体圆管（内、外半径分别为b，c）构成，如图所示。使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回。设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：（1）导体圆柱内（r＜a），
（2）两导体之间（a＜r＜b），
（3）导体圆筒内（b＜r＜c），
（4）电缆外（r＞c）各点处磁感应强度的大小。
题目解答
答案
（1）$B=\frac{{{μ_0}Ir}}{{2π{R^2}}}$；（2）$B=\frac{{{μ_0}I}}{{2πr}}$；（3）$B=\frac{{{μ_0}I（{c^2}-{r^2}）}}{{2πr（{c^2}-{b^2}）}}$；（4）B=0
【详解】根据$∮{_L\overrightarrow{B}⋅d\overrightarrow{l}}={μ_0}\sum I$
（1）当r＜a时$B⋅2πr={μ_0}\frac{{I{r^2}}}{{{R^2}}}$$B=\frac{{{μ_0}Ir}}{{2π{R^2}}}$
（2）当a＜r＜b时B⋅2πr=μ0I
解得$B=\frac{{{μ_0}I}}{{2πr}}$
（3）当b＜r＜c时$B2πr=-{μ_0}I\frac{{{r^2}-{b^2}}}{{{c^2}-{b^2}}}+{μ_0}I$
解得$B=\frac{{{μ_0}I（{c^2}-{r^2}）}}{{2πr（{c^2}-{b^2}）}}$
（4）当r＞c时B⋅2πr=0
B=0
【详解】根据$∮{_L\overrightarrow{B}⋅d\overrightarrow{l}}={μ_0}\sum I$
（1）当r＜a时$B⋅2πr={μ_0}\frac{{I{r^2}}}{{{R^2}}}$$B=\frac{{{μ_0}Ir}}{{2π{R^2}}}$
（2）当a＜r＜b时B⋅2πr=μ0I
解得$B=\frac{{{μ_0}I}}{{2πr}}$
（3）当b＜r＜c时$B2πr=-{μ_0}I\frac{{{r^2}-{b^2}}}{{{c^2}-{b^2}}}+{μ_0}I$
解得$B=\frac{{{μ_0}I（{c^2}-{r^2}）}}{{2πr（{c^2}-{b^2}）}}$
（4）当r＞c时B⋅2πr=0
B=0
解析
步骤 1：导体圆柱内（r＜a）
根据安培环路定理，对于半径为r的圆柱内，电流I均匀分布在半径为a的圆柱内，因此通过半径为r的圆柱截面的电流为$I_{enc}=\frac{Ir^2}{a^2}$。根据安培环路定理，$B⋅2πr={μ_0}I_{enc}$，代入$I_{enc}$，得到$B=\frac{{{μ_0}Ir}}{{2π{a^2}}}$。
步骤 2：两导体之间（a＜r＜b）
在两导体之间，电流I均匀分布在半径为a的圆柱内，因此通过半径为r的圆柱截面的电流为I。根据安培环路定理，$B⋅2πr={μ_0}I$，得到$B=\frac{{{μ_0}I}}{{2πr}}$。
步骤 3：导体圆筒内（b＜r＜c）
在导体圆筒内，电流I均匀分布在半径为b的圆筒内，因此通过半径为r的圆筒截面的电流为$I_{enc}=I\frac{b^2-r^2}{b^2-c^2}$。根据安培环路定理，$B⋅2πr={μ_0}I_{enc}$，代入$I_{enc}$，得到$B=\frac{{{μ_0}I（{c^2}-{r^2}）}}{{2πr（{c^2}-{b^2}）}}$。
步骤 4：电缆外（r＞c）
在电缆外，电流I均匀分布在半径为c的圆筒内，因此通过半径为r的圆筒截面的电流为0。根据安培环路定理，$B⋅2πr=0$，得到B=0。
根据安培环路定理，对于半径为r的圆柱内，电流I均匀分布在半径为a的圆柱内，因此通过半径为r的圆柱截面的电流为$I_{enc}=\frac{Ir^2}{a^2}$。根据安培环路定理，$B⋅2πr={μ_0}I_{enc}$，代入$I_{enc}$，得到$B=\frac{{{μ_0}Ir}}{{2π{a^2}}}$。
步骤 2：两导体之间（a＜r＜b）
在两导体之间，电流I均匀分布在半径为a的圆柱内，因此通过半径为r的圆柱截面的电流为I。根据安培环路定理，$B⋅2πr={μ_0}I$，得到$B=\frac{{{μ_0}I}}{{2πr}}$。
步骤 3：导体圆筒内（b＜r＜c）
在导体圆筒内，电流I均匀分布在半径为b的圆筒内，因此通过半径为r的圆筒截面的电流为$I_{enc}=I\frac{b^2-r^2}{b^2-c^2}$。根据安培环路定理，$B⋅2πr={μ_0}I_{enc}$，代入$I_{enc}$，得到$B=\frac{{{μ_0}I（{c^2}-{r^2}）}}{{2πr（{c^2}-{b^2}）}}$。
步骤 4：电缆外（r＞c）
在电缆外，电流I均匀分布在半径为c的圆筒内，因此通过半径为r的圆筒截面的电流为0。根据安培环路定理，$B⋅2πr=0$，得到B=0。