13-2】如图13-2所示,有一弯成θ角的金属架COD,导体MN(MN垂直于OD)以恒定速度v在金属架上滑动,设v⊥B○MN向右,且t=0,x=0。已知磁场的方向垂直图面向外,分别求下列情况下框架内的感应电动势的变化规律(大小方图13-2向)。(1)磁场分布均匀,B不随时间变化;非均匀的时变磁场B= costo

考查要点：本题主要考查法拉第电磁感应定律的应用，涉及匀强磁场和时变非均匀磁场两种情况下的感应电动势计算。

解题核心思路：

1. 确定回路面积：导体棒滑动形成的三角形面积随时间变化，需结合几何关系表达面积。
2. 计算磁通量：根据磁场分布（均匀或非均匀）选择磁通量的计算方式（直接公式或积分）。
3. 应用法拉第定律：对磁通量关于时间求导，得到感应电动势的大小。
4. 判断方向：通过楞次定律或电动势的正负号确定方向。

破题关键点：

• 第一问：匀强磁场中，面积随时间二次方增长，磁通量线性增长，电动势为恒定值。
• 第二问：时变非均匀磁场中，磁通量需积分计算，同时考虑磁场强度随时间变化的影响，求导时需应用乘积法则。

第（1）题

确定回路面积

导体棒滑动形成的三角形底边为 $x = vt$，高度为 $x \tan\theta$，面积为：
$S = \frac{1}{2} x \cdot (x \tan\theta) = \frac{1}{2} v^2 t^2 \tan\theta$

计算磁通量

匀强磁场中，磁通量为：
$\Phi = B \cdot S = \frac{1}{2} B v^2 t^2 \tan\theta$

求感应电动势

根据法拉第定律：
$e = -\frac{d\Phi}{dt} = -B v^2 t \tan\theta$

判断方向

导体棒向右运动导致面积增大，磁通量增加，感应电流方向阻碍此变化，故电动势方向从 $M$ 指向 $N$。

第（2）题

磁通量积分计算

假设磁场强度为 $B(x,t) = kx \cos\omega t$，回路面积元素为 $dS = x \tan\theta \, dx$，积分范围为 $0$ 到 $x = vt$：
$\Phi = \int_0^{vt} B(x,t) \cdot dS = \int_0^{vt} kx \cos\omega t \cdot x \tan\theta \, dx = k \cos\omega t \tan\theta \cdot \frac{v^3 t^3}{3}$

求感应电动势

对时间求导，应用乘积法则：
$e = -\frac{d\Phi}{dt} = -k \tan\theta \left[ \frac{v^3 t^3}{3} \cdot (-\omega \sin\omega t) + \cos\omega t \cdot v^3 t^2 \right]$

方向判断

电动势正负号决定方向：若 $e > 0$，方向与绕行方向相同；否则相反。