2-16 通过A(3,0,0)、B (0,1,2)两点(长度单位-|||-为m),由A指向B的力F,在z轴上的投影为 () ,-|||-对z轴的矩为 () 。

考查要点：本题主要考查空间力的投影与对轴的矩的计算，涉及向量方向、标量投影公式以及力矩的向量叉乘法。

解题思路：

1. 确定力的方向向量：由点A到点B的向量$\overrightarrow{AB}$为$(-3,1,2)$。
2. 计算力的大小：根据向量模长公式，$\sqrt{(-3)^2 +1^2 +2^2} = \sqrt{14}$，单位向量为$\left(-\frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}\right)$。
3. z轴投影：力的大小乘以单位向量的z分量，即$F \cdot \frac{2}{\sqrt{14}}$。
4. 对z轴的矩：通过位置向量$\vec{r}$（取点A坐标$(3,0,0)$）与力向量$\vec{F}$的叉乘，计算z分量。

关键点：

• 标量投影：投影大小为$F \cdot \cos\theta$，其中$\cos\theta$对应单位向量的z分量。
• 力矩计算：$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$，取z分量即可。

第（1）题：z轴上的投影

确定方向向量

由点A(3,0,0)到点B(0,1,2)的向量为：
$\overrightarrow{AB} = B - A = (-3, 1, 2)$

计算单位向量

向量模长为：
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{14}$
单位向量为：
$\hat{u} = \left(-\frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}\right)$

计算z轴投影

力$\vec{F}$的大小为$F$，其z轴分量为：
$F_z = F \cdot \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{2F}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{7}F$

第（2）题：对z轴的矩

选取位置向量

取力的作用点A的坐标向量$\vec{r} = (3, 0, 0)$。

计算力向量

力$\vec{F}$的向量形式为：
$\vec{F} = F \cdot \hat{u} = \left(-\frac{3F}{\sqrt{14}}, \frac{F}{\sqrt{14}}, \frac{2F}{\sqrt{14}}\right)$

计算叉乘的z分量

叉乘$\vec{r} \times \vec{F}$的z分量为：
$M_z = r_x F_y - r_y F_x = 3 \cdot \frac{F}{\sqrt{14}} - 0 \cdot \left(-\frac{3F}{\sqrt{14}}\right) = \frac{3F}{\sqrt{14}}$
有理化后：
$M_z = \frac{3F\sqrt{14}}{14}$