题目
求处于基态的一维箱中的粒子出现在.25aleqslant xleqslant 0.75a内的几率。a是一维箱的长。
求处于基态的一维箱中的粒子出现在
内的几率。a是一维箱的长。
题目解答
答案
解:基态波函数为:
几率:
解析
步骤 1：确定基态波函数
基态波函数为：${y}_{1}(x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin \dfrac {\pi x}{a}$，其中$a$是一维箱的长度。
步骤 2：计算几率
几率$p$是波函数的模方在给定区间内的积分，即：
$p=\int_{0.25a}^{0.75a} |{y}_{1}(x)|^2 dx$
$=\int_{0.25a}^{0.75a} \dfrac {2}{a} \sin^2 \dfrac {\pi x}{a} dx$
$=\dfrac {2}{a} \int_{0.25a}^{0.75a} \sin^2 \dfrac {\pi x}{a} dx$
步骤 3：使用三角恒等式简化积分
使用三角恒等式$\sin^2 \theta = \dfrac{1-\cos 2\theta}{2}$，将积分简化为：
$p=\dfrac {2}{a} \int_{0.25a}^{0.75a} \dfrac{1-\cos \dfrac{2\pi x}{a}}{2} dx$
$=\dfrac {1}{a} \int_{0.25a}^{0.75a} (1-\cos \dfrac{2\pi x}{a}) dx$
步骤 4：计算积分
$p=\dfrac {1}{a} \left[ x - \dfrac{a}{2\pi} \sin \dfrac{2\pi x}{a} \right]_{0.25a}^{0.75a}$
$=\dfrac {1}{a} \left[ (0.75a - \dfrac{a}{2\pi} \sin \dfrac{3\pi}{2}) - (0.25a - \dfrac{a}{2\pi} \sin \dfrac{\pi}{2}) \right]$
$=\dfrac {1}{a} \left[ 0.5a + \dfrac{a}{2\pi} \right]$
$=0.5 + \dfrac{1}{2\pi}$
基态波函数为：${y}_{1}(x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin \dfrac {\pi x}{a}$，其中$a$是一维箱的长度。
步骤 2：计算几率
几率$p$是波函数的模方在给定区间内的积分，即：
$p=\int_{0.25a}^{0.75a} |{y}_{1}(x)|^2 dx$
$=\int_{0.25a}^{0.75a} \dfrac {2}{a} \sin^2 \dfrac {\pi x}{a} dx$
$=\dfrac {2}{a} \int_{0.25a}^{0.75a} \sin^2 \dfrac {\pi x}{a} dx$
步骤 3：使用三角恒等式简化积分
使用三角恒等式$\sin^2 \theta = \dfrac{1-\cos 2\theta}{2}$，将积分简化为：
$p=\dfrac {2}{a} \int_{0.25a}^{0.75a} \dfrac{1-\cos \dfrac{2\pi x}{a}}{2} dx$
$=\dfrac {1}{a} \int_{0.25a}^{0.75a} (1-\cos \dfrac{2\pi x}{a}) dx$
步骤 4：计算积分
$p=\dfrac {1}{a} \left[ x - \dfrac{a}{2\pi} \sin \dfrac{2\pi x}{a} \right]_{0.25a}^{0.75a}$
$=\dfrac {1}{a} \left[ (0.75a - \dfrac{a}{2\pi} \sin \dfrac{3\pi}{2}) - (0.25a - \dfrac{a}{2\pi} \sin \dfrac{\pi}{2}) \right]$
$=\dfrac {1}{a} \left[ 0.5a + \dfrac{a}{2\pi} \right]$
$=0.5 + \dfrac{1}{2\pi}$