题目
填空题:-|||-一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动-|||-能是总能量的 __ (设平衡位置处势能为零)。当这物块在平衡位置时,弹簧-|||-的长度比原长长 △l, 这一振动系统的周期为 __ 。
题目解答
答案
解析
考查要点：
- 简谐振动中的能量分配：理解动能与势能的转换关系，掌握总能量的表达式。
- 弹簧振子周期公式：结合胡克定律推导周期表达式，注意平衡位置的伸长量与劲度系数的关系。
解题核心思路：
- 能量关系：总能量为最大势能（或最大动能），动能与势能之和恒定。
- 周期公式推导：利用平衡条件确定劲度系数，代入周期公式化简。
破题关键点：
- 位移与势能关系：势能公式 $E_p = \frac{1}{2}kx^2$，当位移为振幅的一半时，计算对应势能，再求动能占比。
- 平衡条件与周期公式：通过 $mg = k\Delta l$ 消去劲度系数 $k$，得到周期仅与 $\Delta l$ 和 $g$ 相关。
第一空：动能是总能量的比例
- 总能量表达式：
简谐振动的总能量 $E = \frac{1}{2}kA^2$（最大势能，对应位移为振幅 $A$）。 - 位移为 $A/2$ 时的势能：
$E_p = \frac{1}{2}k\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{1}{8}kA^2 = \frac{1}{4}E.$ - 动能计算：
动能 $E_k = E - E_p = E - \frac{1}{4}E = \frac{3}{4}E$，即动能是总能量的 $\frac{3}{4}$。
第二空：振动系统的周期
- 平衡条件：
物块在平衡位置时，重力与弹簧弹力平衡：
$mg = k\Delta l \quad \Rightarrow \quad k = \frac{mg}{\Delta l}.$ - 周期公式代入：
弹簧振子周期 $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，将 $k = \frac{mg}{\Delta l}$ 代入：
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{\Delta l}}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l}{g}}.$