题目
1.16 已知矢量 =e((x)^2+axz)+e(x(y)^2+by)+(e)_(y)(z-(z)^2+cx-2xyz), 试-|||-确定常数a、b、c,使E为无源场。
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解无源场的条件
无源场意味着矢量场的散度为零。对于矢量场 $E$，其散度 $D\cdot E$ 必须等于零。矢量场 $E$ 的散度定义为 $D\cdot E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$，其中 $E_x$、$E_y$ 和 $E_z$ 分别是矢量 $E$ 在 $x$、$y$ 和 $z$ 方向的分量。
步骤 2：计算矢量场 $E$ 的散度
根据题目给出的矢量 $E$，其分量为 $E_x = x^2 + axz$，$E_y = xy^2 + by$，$E_z = z - z^2 + cxz - 2xyz$。计算其散度：
- $\frac{\partial E_x}{\partial x} = 2x + az$
- $\frac{\partial E_y}{\partial y} = 2xy + b$
- $\frac{\partial E_z}{\partial z} = 1 - 2z + cx - 2xy$
步骤 3：将散度等于零的条件应用于计算结果
将上述计算结果代入散度的定义中，得到 $D\cdot E = (2x + az) + (2xy + b) + (1 - 2z + cx - 2xy) = 0$。为了使该表达式对所有 $x$、$y$ 和 $z$ 都成立，必须使每个独立项的系数为零。因此，我们得到：
- $2x + cx = 0$，即 $c = -2$
- $az - 2z = 0$，即 $a = 2$
- $b + 1 = 0$，即 $b = -1$
无源场意味着矢量场的散度为零。对于矢量场 $E$，其散度 $D\cdot E$ 必须等于零。矢量场 $E$ 的散度定义为 $D\cdot E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$，其中 $E_x$、$E_y$ 和 $E_z$ 分别是矢量 $E$ 在 $x$、$y$ 和 $z$ 方向的分量。
步骤 2：计算矢量场 $E$ 的散度
根据题目给出的矢量 $E$，其分量为 $E_x = x^2 + axz$，$E_y = xy^2 + by$，$E_z = z - z^2 + cxz - 2xyz$。计算其散度：
- $\frac{\partial E_x}{\partial x} = 2x + az$
- $\frac{\partial E_y}{\partial y} = 2xy + b$
- $\frac{\partial E_z}{\partial z} = 1 - 2z + cx - 2xy$
步骤 3：将散度等于零的条件应用于计算结果
将上述计算结果代入散度的定义中，得到 $D\cdot E = (2x + az) + (2xy + b) + (1 - 2z + cx - 2xy) = 0$。为了使该表达式对所有 $x$、$y$ 和 $z$ 都成立，必须使每个独立项的系数为零。因此，我们得到：
- $2x + cx = 0$，即 $c = -2$
- $az - 2z = 0$，即 $a = 2$
- $b + 1 = 0$，即 $b = -1$