1.16 已知矢量 =e((x)^2+axz)+e(x(y)^2+by)+(e)_(y)(z-(z)^2+cx-2xyz), 试-|||-确定常数a、b、c,使E为无源场。

考查要点：本题主要考查矢量场的散度计算及无源场的条件。
解题思路：无源场的定义是散度为零，因此需要计算矢量场$E$的散度，并令其等于零，从而解出常数$a$、$b$、$c$。
关键点：

1. 正确拆分矢量场的分量，分别求出$E_x$、$E_y$、$E_z$；
2. 逐项计算偏导数，注意符号和系数；
3. 合并同类项后，令各变量的系数和常数项均为零，建立方程组求解。

1. 拆分矢量场分量

矢量$E$的分量为：

• $E_x = x^2 + a x z$
• $E_y = x y^2 + b y$
• $E_z = z - z^2 + c x z - 2 x y z$

2. 计算散度

散度公式为：
$\nabla \cdot E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$

(1) 计算$\frac{\partial E_x}{\partial x}$

$\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + a x z) = 2x + a z$

(2) 计算$\frac{\partial E_y}{\partial y}$

$\frac{\partial}{\partial y}(x y^2 + b y) = 2x y + b$

(3) 计算$\frac{\partial E_z}{\partial z}$

$\frac{\partial}{\partial z}\left(z - z^2 + c x z - 2 x y z\right) = 1 - 2z + c x - 2x y$

3. 合并散度表达式

将上述结果相加：
$(2x + a z) + (2x y + b) + (1 - 2z + c x - 2x y) = 0$

(1) 合并同类项

• $x$项：$2x + c x = x(2 + c)$
• $z$项：$a z - 2z = z(a - 2)$
• $x y$项：$2x y - 2x y = 0$
• 常数项：$b + 1$

(2) 令各系数为零

$\begin{cases}2 + c = 0 \\a - 2 = 0 \\b + 1 = 0\end{cases}$

解得：
$a = 2,\quad b = -1,\quad c = -2$