题目
(3-19 质量为m的质点在外力F的作用下沿Ox轴运动,已知 t=0 时质点位于原点,且-|||-初始速度为零.设外力F随距离线性地减小,且 x=0 时, =(F)_(0), 当 x=L 时, F=0. 试求质点从-|||-x=0 运动到 x=L 处的过程中力F对质点所做的功和质点在 x=L 处的速率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定力F随距离x的变化关系
由于力F随距离线性地减小，且在x=0时F=F0，在x=L时F=0，可以写出力F随距离x的变化关系为：
\[ F(x) = F_0 - \frac{F_0}{L}x \]
步骤 2：计算力F对质点所做的功
力F对质点所做的功W可以通过积分力F随距离x的变化关系来计算，即：
\[ W = \int_{0}^{L} F(x) dx = \int_{0}^{L} \left( F_0 - \frac{F_0}{L}x \right) dx \]
\[ W = \left[ F_0x - \frac{F_0}{2L}x^2 \right]_{0}^{L} = F_0L - \frac{F_0}{2L}L^2 = \frac{1}{2}F_0L \]
步骤 3：计算质点在x=L处的速率
根据动能定理，力F对质点所做的功等于质点动能的增加量，即：
\[ W = \frac{1}{2}mv^2 \]
将步骤2中计算的功W代入上式，可以得到质点在x=L处的速率v：
\[ \frac{1}{2}F_0L = \frac{1}{2}mv^2 \]
\[ v = \sqrt{\frac{F_0L}{m}} \]
由于力F随距离线性地减小，且在x=0时F=F0，在x=L时F=0，可以写出力F随距离x的变化关系为：
\[ F(x) = F_0 - \frac{F_0}{L}x \]
步骤 2：计算力F对质点所做的功
力F对质点所做的功W可以通过积分力F随距离x的变化关系来计算，即：
\[ W = \int_{0}^{L} F(x) dx = \int_{0}^{L} \left( F_0 - \frac{F_0}{L}x \right) dx \]
\[ W = \left[ F_0x - \frac{F_0}{2L}x^2 \right]_{0}^{L} = F_0L - \frac{F_0}{2L}L^2 = \frac{1}{2}F_0L \]
步骤 3：计算质点在x=L处的速率
根据动能定理，力F对质点所做的功等于质点动能的增加量，即：
\[ W = \frac{1}{2}mv^2 \]
将步骤2中计算的功W代入上式，可以得到质点在x=L处的速率v：
\[ \frac{1}{2}F_0L = \frac{1}{2}mv^2 \]
\[ v = \sqrt{\frac{F_0L}{m}} \]