题目
13.3 两个同心的均匀带电球面,半径分别为 _(1)=5.0cm, _(2)=20.0cm, 已知内球面-|||-的电势 (rho )_(1)=60V, 外球面的电势 (varphi )_(2)=-30V-|||-(1)求内、外球面上所带电量;-|||-(2)在两个球面之间何处的电势为零?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电势公式
对于均匀带电球面，电势 $\varphi$ 可以用公式 $\varphi = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{q}{r}$ 来计算，其中 $q$ 是球面所带的电量，$r$ 是到球心的距离，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数。
步骤 2：应用电势叠加原理
由于存在两个同心球面，电势叠加原理告诉我们，总电势是两个球面电势的代数和。因此，对于内球面的电势 ${\varphi}_1$ 和外球面的电势 ${\varphi}_2$，我们有：
${\varphi}_1 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{R_1} + \dfrac{q_2}{R_2} \right)$
${\varphi}_2 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{R_2} + \dfrac{q_2}{R_2} \right)$
步骤 3：求解内、外球面上所带电量
将已知的电势值代入上述方程，联立求解 $q_1$ 和 $q_2$：
$60 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{5.0 \times 10^{-2}} + \dfrac{q_2}{20.0 \times 10^{-2}} \right)$
$-30 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{20.0 \times 10^{-2}} + \dfrac{q_2}{20.0 \times 10^{-2}} \right)$
解得：$q_1 = 6.7 \times 10^{-10} C$，$q_2 = -1.3 \times 10^{-9} C$
步骤 4：求解电势为零的位置
在两个球面之间，电势为零的位置满足 $\varphi = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{r} + \dfrac{q_2}{R_2} \right) = 0$，解得 $r = \dfrac{q_1}{-q_2} R_2$，代入 $q_1$ 和 $q_2$ 的值，得到 $r = 10 cm$。
对于均匀带电球面，电势 $\varphi$ 可以用公式 $\varphi = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{q}{r}$ 来计算，其中 $q$ 是球面所带的电量，$r$ 是到球心的距离，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数。
步骤 2：应用电势叠加原理
由于存在两个同心球面，电势叠加原理告诉我们，总电势是两个球面电势的代数和。因此，对于内球面的电势 ${\varphi}_1$ 和外球面的电势 ${\varphi}_2$，我们有：
${\varphi}_1 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{R_1} + \dfrac{q_2}{R_2} \right)$
${\varphi}_2 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{R_2} + \dfrac{q_2}{R_2} \right)$
步骤 3：求解内、外球面上所带电量
将已知的电势值代入上述方程，联立求解 $q_1$ 和 $q_2$：
$60 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{5.0 \times 10^{-2}} + \dfrac{q_2}{20.0 \times 10^{-2}} \right)$
$-30 = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{20.0 \times 10^{-2}} + \dfrac{q_2}{20.0 \times 10^{-2}} \right)$
解得：$q_1 = 6.7 \times 10^{-10} C$，$q_2 = -1.3 \times 10^{-9} C$
步骤 4：求解电势为零的位置
在两个球面之间，电势为零的位置满足 $\varphi = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{r} + \dfrac{q_2}{R_2} \right) = 0$，解得 $r = \dfrac{q_1}{-q_2} R_2$，代入 $q_1$ 和 $q_2$ 的值，得到 $r = 10 cm$。