题目

2-16 图示桁架,承受铅垂载荷F作用。已知许用应力为[σ],节点A与C间的指定距-|||-离为l,二杆的横截面面积相同,为使桁架重量最轻,试确定θ的最佳值。-|||- 1/2-|||-1-|||-A θ θ C-|||-B-|||-F-|||-题 2-16 图

题目解答

答案

解析

本题要求确定桁架中两杆与竖直方向的夹角θ，使得在满足许用应力条件下，桁架重量最轻。核心思路是通过受力分析，建立应力与θ的关系，再结合重量表达式，利用数学极值方法求解最优θ。

关键点：

  1. 轴力计算：通过静力平衡确定两杆的轴力，利用对称性简化计算。
  2. 应力约束：根据许用应力确定最小截面积。
  3. 重量表达式：将重量表示为θ的函数，通过求导或三角恒等式找到最小值。

步骤1：计算杆的轴力

节点B受铅垂载荷F，两杆对称，轴力相等。竖直方向平衡方程：
$2N \cos\theta = F \implies N = \frac{F}{2\cos\theta}$

步骤2：确定截面积约束

应力不超过许用值：
$\sigma = \frac{N}{A} = \frac{F}{2A\cos\theta} \leq [\sigma] \implies A \geq \frac{F}{2[\sigma]\cos\theta}$

步骤3：建立重量表达式

单杆长度：
$L = \frac{l}{2\sin\theta}$
总重量：
$W = 2 \cdot A \cdot L = 2 \cdot \frac{F}{2[\sigma]\cos\theta} \cdot \frac{l}{2\sin\theta} = \frac{Fl}{2[\sigma]\cos\theta\sin\theta}$

步骤4：求最小重量

重量与$\cos\theta\sin\theta$成反比，需最大化$\cos\theta\sin\theta$。利用三角恒等式：
$\cos\theta\sin\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta$
当$2\theta = 90^\circ$即$\theta = 45^\circ$时，$\sin2\theta$最大，此时重量最小。