题目
如题图所示，一平面塑料圆盘，半径为R,表面带有面密度为σ的剩余电荷.假定圆盘绕其轴线AA'以角速度ω(rad/s)转动，磁场B的方向垂直于转轴AA'.试证磁作用于圆盘的力矩的大小为=dfrac (pi oomega {R)^4B}(4)(提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑.）=dfrac (pi oomega {R)^4B}(4)
如题图所示，一平面塑料圆盘，半径为R,表面带有面密度为σ的剩余电荷.假定圆盘绕其轴线AA'以角速度ω(rad/s)转动，磁场B的方向垂直于转轴AA'.试证磁作用于圆盘的力矩的大小为
(提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑.）
题目解答
答案
证： 取圆环 
,它的等效电流为
根据电流元与磁场之间的关系，我们可以求得圆环的等效磁矩为
根据电磁学中磁力矩的定义，每个圆环受到磁力矩
，方向垂直于纸面向内，大小为
对所有的圆环的磁力矩进行积分，得到整个圆盘受到的磁力矩大小
证毕.
解析
步骤 1：将圆盘分成许多同心圆环
将圆盘分成许多同心圆环，每个圆环的半径为r，宽度为dr。圆环的面积为$dS=2\pi rdr$，其上的电荷量为$dq=\sigma dS=2\pi \sigma rdr$。
步骤 2：计算圆环的等效电流
圆盘绕其轴线AA'以角速度ω转动，圆环上的电荷也以角速度ω转动，因此圆环的等效电流为$dI=\dfrac{dq}{T}=\dfrac{dq}{2\pi/\omega}=\dfrac{\omega dq}{2\pi}=\omega \sigma rdr$。
步骤 3：计算圆环的磁矩
圆环的磁矩为$dP_m=\pi r^2 dI=\pi r^2 \omega \sigma rdr$。
步骤 4：计算圆环受到的磁力矩
圆环受到的磁力矩为$dM=dP_m \times B=\pi r^2 \omega \sigma rdr \times B$。由于磁场B的方向垂直于转轴AA'，所以$dM$的方向垂直于纸面向内，大小为$dM=\pi r^2 \omega \sigma rdr B$。
步骤 5：计算整个圆盘受到的磁力矩
对所有的圆环的磁力矩进行积分，得到整个圆盘受到的磁力矩大小$M=\int dM=\int_0^R \pi r^2 \omega \sigma rdr B=\pi \omega \sigma B \int_0^R r^3 dr=\pi \omega \sigma B \left[\dfrac{r^4}{4}\right]_0^R=\dfrac{\pi \omega^4 \sigma B R^4}{4}$。
将圆盘分成许多同心圆环，每个圆环的半径为r，宽度为dr。圆环的面积为$dS=2\pi rdr$，其上的电荷量为$dq=\sigma dS=2\pi \sigma rdr$。
步骤 2：计算圆环的等效电流
圆盘绕其轴线AA'以角速度ω转动，圆环上的电荷也以角速度ω转动，因此圆环的等效电流为$dI=\dfrac{dq}{T}=\dfrac{dq}{2\pi/\omega}=\dfrac{\omega dq}{2\pi}=\omega \sigma rdr$。
步骤 3：计算圆环的磁矩
圆环的磁矩为$dP_m=\pi r^2 dI=\pi r^2 \omega \sigma rdr$。
步骤 4：计算圆环受到的磁力矩
圆环受到的磁力矩为$dM=dP_m \times B=\pi r^2 \omega \sigma rdr \times B$。由于磁场B的方向垂直于转轴AA'，所以$dM$的方向垂直于纸面向内，大小为$dM=\pi r^2 \omega \sigma rdr B$。
步骤 5：计算整个圆盘受到的磁力矩
对所有的圆环的磁力矩进行积分，得到整个圆盘受到的磁力矩大小$M=\int dM=\int_0^R \pi r^2 \omega \sigma rdr B=\pi \omega \sigma B \int_0^R r^3 dr=\pi \omega \sigma B \left[\dfrac{r^4}{4}\right]_0^R=\dfrac{\pi \omega^4 \sigma B R^4}{4}$。