题目
1-7 一质点沿半径为R的圆周按规律 =(v)_(0)t-dfrac (1)(2)b(t)^2 运动,v0、b都是常-|||-量.求t时刻质点的总加速度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算质点的速度
质点的速度是位移对时间的导数，即 $v=\dfrac {ds}{dt}$。根据题目给出的位移公式 $s={v}_{0}t-\dfrac {1}{2}b{t}^{2}$，我们对时间t求导，得到质点的速度 $v={v}_{0}-bt$。
步骤 2：计算质点的切向加速度
质点的切向加速度是速度对时间的导数，即 ${a}_{1}=\dfrac {dv}{dt}$。根据步骤1中得到的速度公式 $v={v}_{0}-bt$，我们对时间t求导，得到质点的切向加速度 ${a}_{1}=-b$。
步骤 3：计算质点的法向加速度
质点的法向加速度是速度的平方除以圆周的半径，即 ${a}_{n}=\dfrac {{v}^{2}}{R}$。根据步骤1中得到的速度公式 $v={v}_{0}-bt$，我们代入法向加速度的公式，得到质点的法向加速度 ${a}_{n}=\dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{2}}{R}$。
步骤 4：计算质点的总加速度
质点的总加速度是切向加速度和法向加速度的矢量和，即 $a=\sqrt {{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{1}}^{2}}$。根据步骤2和步骤3中得到的切向加速度和法向加速度，我们代入总加速度的公式，得到质点的总加速度 $a=\sqrt {{(-b)}^{2}+{\left(\dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{2}}{R}\right)}^{2}}$。
步骤 5：计算总加速度的方向
总加速度的方向与切线之间的夹角为 $\theta =\arctan \dfrac {{a}_{n}}{{a}_{1}}$。根据步骤2和步骤3中得到的切向加速度和法向加速度，我们代入总加速度方向的公式，得到总加速度的方向 $\theta =\arctan \dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{2}}{Rb}$。
质点的速度是位移对时间的导数，即 $v=\dfrac {ds}{dt}$。根据题目给出的位移公式 $s={v}_{0}t-\dfrac {1}{2}b{t}^{2}$，我们对时间t求导，得到质点的速度 $v={v}_{0}-bt$。
步骤 2：计算质点的切向加速度
质点的切向加速度是速度对时间的导数，即 ${a}_{1}=\dfrac {dv}{dt}$。根据步骤1中得到的速度公式 $v={v}_{0}-bt$，我们对时间t求导，得到质点的切向加速度 ${a}_{1}=-b$。
步骤 3：计算质点的法向加速度
质点的法向加速度是速度的平方除以圆周的半径，即 ${a}_{n}=\dfrac {{v}^{2}}{R}$。根据步骤1中得到的速度公式 $v={v}_{0}-bt$，我们代入法向加速度的公式，得到质点的法向加速度 ${a}_{n}=\dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{2}}{R}$。
步骤 4：计算质点的总加速度
质点的总加速度是切向加速度和法向加速度的矢量和，即 $a=\sqrt {{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{1}}^{2}}$。根据步骤2和步骤3中得到的切向加速度和法向加速度，我们代入总加速度的公式，得到质点的总加速度 $a=\sqrt {{(-b)}^{2}+{\left(\dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{2}}{R}\right)}^{2}}$。
步骤 5：计算总加速度的方向
总加速度的方向与切线之间的夹角为 $\theta =\arctan \dfrac {{a}_{n}}{{a}_{1}}$。根据步骤2和步骤3中得到的切向加速度和法向加速度，我们代入总加速度方向的公式，得到总加速度的方向 $\theta =\arctan \dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{2}}{Rb}$。