题目
质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S。试求整个轮轴的转动惯量。（用m、r、t和S表示）r-|||-m
质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S。试求整个轮轴的转动惯量。（用m、r、t和S表示）
题目解答
答案
解析
解析
步骤 1：确定物体的运动方程
物体在重力作用下沿绳子下降，设绳子对物体的拉力为T，根据牛顿第二定律，物体的加速度a满足：
$$ mg - T = ma $$
步骤 2：确定轮轴的转动方程
绳子对轮轴的拉力T产生力矩，根据转动定律，轮轴的角加速度β满足：
$$ Tr = J\beta $$
其中，J是轮轴的转动惯量，r是轮轴的半径。
步骤 3：确定加速度和角加速度的关系
由于绳子是轻质的，物体的加速度a和轮轴的角加速度β满足：
$$ a = r\beta $$
步骤 4：求解加速度a
由运动学关系，物体在时间t内下降的距离S满足：
$$ S = \frac{1}{2}at^2 $$
解得：
$$ a = \frac{2S}{t^2} $$
步骤 5：求解转动惯量J
将步骤1、步骤2、步骤3和步骤4的结果联立，解得：
$$ J = \frac{m(g-a)r^2}{a} $$
将a的表达式代入，得：
$$ J = \frac{m(g-\frac{2S}{t^2})r^2}{\frac{2S}{t^2}} $$
化简得：
$$ J = \frac{m(g-\frac{2S}{t^2})r^2}{\frac{2S}{t^2}} = \frac{m(g-\frac{2S}{t^2})r^2t^2}{2S} $$
物体在重力作用下沿绳子下降，设绳子对物体的拉力为T，根据牛顿第二定律，物体的加速度a满足：
$$ mg - T = ma $$
步骤 2：确定轮轴的转动方程
绳子对轮轴的拉力T产生力矩，根据转动定律，轮轴的角加速度β满足：
$$ Tr = J\beta $$
其中，J是轮轴的转动惯量，r是轮轴的半径。
步骤 3：确定加速度和角加速度的关系
由于绳子是轻质的，物体的加速度a和轮轴的角加速度β满足：
$$ a = r\beta $$
步骤 4：求解加速度a
由运动学关系，物体在时间t内下降的距离S满足：
$$ S = \frac{1}{2}at^2 $$
解得：
$$ a = \frac{2S}{t^2} $$
步骤 5：求解转动惯量J
将步骤1、步骤2、步骤3和步骤4的结果联立，解得：
$$ J = \frac{m(g-a)r^2}{a} $$
将a的表达式代入，得：
$$ J = \frac{m(g-\frac{2S}{t^2})r^2}{\frac{2S}{t^2}} $$
化简得：
$$ J = \frac{m(g-\frac{2S}{t^2})r^2}{\frac{2S}{t^2}} = \frac{m(g-\frac{2S}{t^2})r^2t^2}{2S} $$