题目
一个均匀带电的薄圆板半径,带电量,求薄圆板轴线上一点的电场强度 ?
一个均匀带电的薄圆板半径
,带电量
,求薄圆板轴线上一点的电场强度 ?
题目解答
答案
首先，我们将薄圆板分成许多无穷小的电荷元素
。每个电荷元素 的电量为
。
由于薄圆板是均匀带电的，每个电荷元素的电场强度大小相等，方向垂直于轴线。
根据库仑定律，电荷元素对轴线上某点的电场强度为 
，
其中
是库仑常数，
，
是真空介电常数。
将
的表达式代入，可得到轴线上距离圆心为 
的点的电场强度 
由于薄圆板上的所有电荷元素对轴线上的点的电场强度是叠加的，我们需要对所有电荷元素的贡献进行积分。
对整个薄圆板进行积分，可得到轴线上距离圆心为 的点的总电场强度 
对上式进行积分，可得到轴线上距离圆心为 的点的电场强度 
的表达式。
解析
步骤 1：确定电荷元素的电量
将薄圆板分成许多无穷小的电荷元素。每个电荷元素的电量为 $dq = \frac{q}{\pi R^2} dA$，其中 $dA = r dr d\theta$ 是面积微元，$q$ 是总电量，$R$ 是圆板半径。
步骤 2：计算电荷元素对轴线上某点的电场强度
根据库仑定律，电荷元素对轴线上某点的电场强度为 $dE = \frac{kdq}{(x^2 + r^2)}$，其中 $k$ 是库仑常数，$x$ 是轴线上某点到圆板中心的距离，$r$ 是电荷元素到圆板中心的距离。
步骤 3：计算轴线上某点的总电场强度
由于薄圆板上的所有电荷元素对轴线上的点的电场强度是叠加的，我们需要对所有电荷元素的贡献进行积分。对整个薄圆板进行积分，可得到轴线上距离圆心为 $x$ 的点的总电场强度 $E$：
$$
E = \int dE = \int \frac{k dq}{x^2 + r^2} = \int \frac{k \frac{q}{\pi R^2} r dr d\theta}{x^2 + r^2}
$$
对上式进行积分，可得到轴线上距离圆心为 $x$ 的点的电场强度 $E$ 的表达式。
将薄圆板分成许多无穷小的电荷元素。每个电荷元素的电量为 $dq = \frac{q}{\pi R^2} dA$，其中 $dA = r dr d\theta$ 是面积微元，$q$ 是总电量，$R$ 是圆板半径。
步骤 2：计算电荷元素对轴线上某点的电场强度
根据库仑定律，电荷元素对轴线上某点的电场强度为 $dE = \frac{kdq}{(x^2 + r^2)}$，其中 $k$ 是库仑常数，$x$ 是轴线上某点到圆板中心的距离，$r$ 是电荷元素到圆板中心的距离。
步骤 3：计算轴线上某点的总电场强度
由于薄圆板上的所有电荷元素对轴线上的点的电场强度是叠加的，我们需要对所有电荷元素的贡献进行积分。对整个薄圆板进行积分，可得到轴线上距离圆心为 $x$ 的点的总电场强度 $E$：
$$
E = \int dE = \int \frac{k dq}{x^2 + r^2} = \int \frac{k \frac{q}{\pi R^2} r dr d\theta}{x^2 + r^2}
$$
对上式进行积分，可得到轴线上距离圆心为 $x$ 的点的电场强度 $E$ 的表达式。