题目
[例8.30](2015年数学二;11分)已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温-|||-度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为120 ℃的物体在-|||-20℃的恒温介质中冷却,30 min后该物体降至30℃,若要将该物体的温度继续降至21℃,-|||-还需冷却多长时间?
题目解答
答案
解析
步骤 1：建立微分方程
根据题意，物体温度随时间的变化率与物体和介质的温差成正比，可以建立微分方程 $\dfrac {dx}{dt}=-k(x-m)$，其中 $x(t)$ 表示物体在时刻 $t$ 的温度，$m$ 表示介质的温度，$k$ 是比例常数。
步骤 2：求解微分方程
对微分方程 $\dfrac {dx}{dt}=-k(x-m)$ 进行求解，得到 $x(t)={Ce}^{-kt}+m$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：确定积分常数
根据初始条件 $x(0)=120$ 和介质温度 $m=20$，可以确定积分常数 $C=100$，因此 $x(t)=100{e}^{-kt}+20$。
步骤 4：确定比例常数
根据条件 $x(\dfrac {1}{2})=30$，可以求出比例常数 $k=2\ln 10$，因此 $x(t)=\dfrac {1}{{100}^{t-1}}+20$。
步骤 5：计算冷却时间
当物体温度降至 $21$ ℃时，即 $x=21$，代入 $x(t)=\dfrac {1}{{100}^{t-1}}+20$，解得 $t=1$，因此还需要冷却 $30$ 分钟。
根据题意，物体温度随时间的变化率与物体和介质的温差成正比，可以建立微分方程 $\dfrac {dx}{dt}=-k(x-m)$，其中 $x(t)$ 表示物体在时刻 $t$ 的温度，$m$ 表示介质的温度，$k$ 是比例常数。
步骤 2：求解微分方程
对微分方程 $\dfrac {dx}{dt}=-k(x-m)$ 进行求解，得到 $x(t)={Ce}^{-kt}+m$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：确定积分常数
根据初始条件 $x(0)=120$ 和介质温度 $m=20$，可以确定积分常数 $C=100$，因此 $x(t)=100{e}^{-kt}+20$。
步骤 4：确定比例常数
根据条件 $x(\dfrac {1}{2})=30$，可以求出比例常数 $k=2\ln 10$，因此 $x(t)=\dfrac {1}{{100}^{t-1}}+20$。
步骤 5：计算冷却时间
当物体温度降至 $21$ ℃时，即 $x=21$，代入 $x(t)=\dfrac {1}{{100}^{t-1}}+20$，解得 $t=1$，因此还需要冷却 $30$ 分钟。