计算题-|||-一半径为R的带电球体,其电荷体密度分布为: rho =Ar(rleqslant R),-|||-rho =0(rgt R)-|||-(r>R),A为一常量。试求球体内外的场强分布。

步骤 1：确定球体内部的电荷分布
在球体内部，电荷体密度分布为 $\rho = Ar$，其中 $A$ 是常量。为了计算球体内部的电场，我们需要首先计算球体内部的总电荷量。为此，我们考虑一个半径为 $r$ 的球体，其中 $r \leq R$。球体内部的电荷量可以通过积分电荷体密度来计算。

步骤 2：计算球体内部的电荷量
球体内部的电荷量 $q$ 可以通过积分电荷体密度 $\rho$ 来计算。球体内部的电荷量为：
$$
q = \int_{0}^{r} \rho dv = \int_{0}^{r} Ar \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi A \int_{0}^{r} r^3 dr = \pi A r^4
$$
其中，$dv = 4\pi r^2 dr$ 是球体内部的体积元素。

步骤 3：应用高斯定理计算球体内部的电场
根据高斯定理，球体内部的电场 $E_1$ 可以通过球体内部的总电荷量 $q$ 来计算。球体内部的电场为：
$$
E_1 \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{\pi A r^4}{\varepsilon_0}
$$
解得：
$$
E_1 = \frac{A r^2}{4 \varepsilon_0}
$$
其中，$r \leq R$，方向沿径向，$A > 0$ 时向外，$A < 0$ 时向里。

步骤 4：计算球体外部的电场
球体外部的电场可以通过球体内部的总电荷量 $q$ 来计算。球体外部的电场为：
$$
E_2 \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{\pi A R^4}{\varepsilon_0}
$$
解得：
$$
E_2 = \frac{A R^4}{4 \varepsilon_0 r^2}
$$
其中，$r > R$，方向沿径向，$A > 0$ 时向外，$A < 0$ 时向里。