计算题(10分)图示立方体A的重量为8kN,边长为100cm,斜面倾角为,若静摩擦系数为0.25,试问当P力逐渐增加时,立方体将滑动还是翻动。

考查要点：本题考察物体在斜面上受外力作用时的稳定性问题，需判断物体是先发生滑动还是翻转。关键在于比较两种临界状态对应的外力大小。

解题核心思路：

1. 滑动条件：当外力$P$达到最大静摩擦力时，物体开始滑动。需计算此时的临界力$P_1$。
2. 翻转条件：当外力$P$导致物体绕底面后边缘转动时，物体翻转。需计算此时的临界力$P_2$。
3. 比较$P_1$与$P_2$：较小的临界力对应先发生的运动形式。

破题关键点：

• 分解重力：将物体重量$W$分解为沿斜面和垂直斜面的分量。
• 力矩平衡：翻转时需对支点取矩，平衡各力的力矩。
• 静摩擦公式：滑动时最大静摩擦力$F_{\text{max}} = \mu N$，其中$N$为法向反作用力。

滑动临界力$P_1$的计算

1. 受力分析：
   • 重力$W$分解为沿斜面的分量$W \sin \theta$和垂直斜面的分量$W \cos \theta$。
   • 外力$P$沿斜面向上施加，其垂直分量为$P \sin \theta$，增加法向反作用力$N$。
   • 法向反作用力：
     $N = W \cos \theta + P \sin \theta$
   • 最大静摩擦力：
     $F_{\text{max}} = \mu N = \mu (W \cos \theta + P \sin \theta)$
2. 平衡条件：
   沿斜面方向，外力$P$需等于最大静摩擦力：
   $P = \mu (W \cos \theta + P \sin \theta)$
3. 解方程：
   整理得：
   $P_1 = \frac{\mu W \cos \theta}{1 - \mu \sin \theta}$
   代入数据：
   $P_1 = \frac{0.25 \cdot 8 \cdot 0.9659}{1 - 0.25 \cdot 0.2588} \approx 2.065 \, \text{kN}$

翻转临界力$P_2$的计算

1. 支点与力矩平衡：
   当物体即将翻转时，支点在底面后边缘。对支点取矩，平衡各力的力矩。
2. 力矩方程：
   • $P$的力矩：$-P_2 \cdot a$（逆时针方向）
   • 重力$W$的分量对支点的力矩：
     $W \sin \theta \cdot \frac{a}{2} + W \cos \theta \cdot \frac{a}{2}$
   • 平衡方程：
     $-P_2 \cdot a + \frac{a}{2} W (\sin \theta + \cos \theta) = 0$
3. 解方程：
   $P_2 = \frac{W}{2} (\sin \theta + \cos \theta)$
   代入数据：
   $P_2 = \frac{8}{2} (0.2588 + 0.9659) \approx 4.89 \, \text{kN}$

比较$P_1$与$P_2$

• $P_1 \approx 2.065 \, \text{kN}$，$P_2 \approx 4.89 \, \text{kN}$。
• 结论：$P_1 < P_2$，因此当$P$逐渐增加时，物体先滑动。