题目
质量 m=10g 的小球与轻弹簧组成一振动系统,按 =0.5cos (8pi t+dfrac (pi )(3)) (式中x的单位为-|||-cm,t的单位为s )的规律作自由振动,求:(1)振动的角频率、周期、振幅和初相.(2)振动的能量-|||-E.(3)一个周期内的平均动能和平均势能.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定振动的角频率、周期、振幅和初相
将题中的运动方程 $x=0.5\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$ 与标准形式 $x=A\cos (\omega t+\varphi )$ 比较，可以得到：
- 振动的角频率 $\omega =8\pi {s}^{-1}$
- 周期 $T=\dfrac {2\pi }{\omega }=\dfrac {2\pi }{8\pi }=0.25s$
- 振幅 $A=0.5cm$
- 初相 $\varphi =\dfrac {\pi }{3}$
步骤 2：计算振动的能量 E
振动的能量 $E$ 可以通过公式 $E=\dfrac {1}{2}m{A}^{2}{\omega }^{2}$ 计算，其中 $m$ 是小球的质量，$A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率。
- 将已知的数值代入公式，得到 $E=\dfrac {1}{2}\times 0.01\times (0.005)^{2}\times (8\pi )^{2}$
- 计算得到 $E=7.9\times {10}^{-5}J$
步骤 3：计算一个周期内的平均动能和平均势能
一个周期内的平均动能 $\overline {{E}_{k}}$ 和平均势能 $\overline {{E}_{p}}$ 都等于总能量的一半，即 $\overline {{E}_{k}}=\overline {{E}_{p}}=\dfrac {1}{2}E$
- 将已知的数值代入公式，得到 $\overline {{E}_{k}}=\overline {{E}_{p}}=\dfrac {1}{2}\times 7.9\times {10}^{-5}J$
- 计算得到 $\overline {{E}_{k}}=\overline {{E}_{p}}=3.95\times {10}^{-5}J$
将题中的运动方程 $x=0.5\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$ 与标准形式 $x=A\cos (\omega t+\varphi )$ 比较，可以得到：
- 振动的角频率 $\omega =8\pi {s}^{-1}$
- 周期 $T=\dfrac {2\pi }{\omega }=\dfrac {2\pi }{8\pi }=0.25s$
- 振幅 $A=0.5cm$
- 初相 $\varphi =\dfrac {\pi }{3}$
步骤 2：计算振动的能量 E
振动的能量 $E$ 可以通过公式 $E=\dfrac {1}{2}m{A}^{2}{\omega }^{2}$ 计算，其中 $m$ 是小球的质量，$A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率。
- 将已知的数值代入公式，得到 $E=\dfrac {1}{2}\times 0.01\times (0.005)^{2}\times (8\pi )^{2}$
- 计算得到 $E=7.9\times {10}^{-5}J$
步骤 3：计算一个周期内的平均动能和平均势能
一个周期内的平均动能 $\overline {{E}_{k}}$ 和平均势能 $\overline {{E}_{p}}$ 都等于总能量的一半，即 $\overline {{E}_{k}}=\overline {{E}_{p}}=\dfrac {1}{2}E$
- 将已知的数值代入公式，得到 $\overline {{E}_{k}}=\overline {{E}_{p}}=\dfrac {1}{2}\times 7.9\times {10}^{-5}J$
- 计算得到 $\overline {{E}_{k}}=\overline {{E}_{p}}=3.95\times {10}^{-5}J$