题目
9.11 载流长直导线与矩形回路ABC D共面,且导线平行于AB,如图,求下列情况下-|||-ABCD中的感应电动势:-|||-(1)长直导线中电流恒定,ABCD以垂直于导线的速度v从图示初始位置远离导线平移-|||-到任一位置时;-|||-(2)长直导线中电流 =(I)_(0)sin omega t, ABCD不动;-|||-(3)长直导线中电流 =(I)_(0)sin omega t, ABCD以垂直于导线的速度v远离导线运动,初始位置-|||-也如图.-|||-__-|||-a-|||-A. B-|||-b v-|||-D C-|||-l-|||-题9.11图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算长直导线中电流恒定时的感应电动势
当长直导线中电流恒定，矩形回路ABCD以垂直于导线的速度v远离导线平移时，根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势为：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=\oint_{ABCDA} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi}{dt}
$$
其中，$\Phi$是穿过回路的磁通量。由于电流恒定，磁通量的变化率仅由回路位置的变化引起。因此，感应电动势为：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }(\frac{1}{a+vt}-\frac{1}{a+b+vt})
$$
步骤 2：计算长直导线中电流随时间变化时的感应电动势
当长直导线中电流随时间变化，矩形回路ABCD不动时，根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势为：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}(\frac{{\mu }_{0}I(t)l}{2\pi }\ln \frac{a+b}{a})
$$
代入 $I(t)={I}_{0}\sin \omega t$，得到：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=\frac{{\mu }_{0}{I}_{0}l}{2\pi }\ln \frac{a+b}{a}\cos \omega t
$$
步骤 3：计算长直导线中电流随时间变化且矩形回路ABCD远离导线运动时的感应电动势
当长直导线中电流随时间变化，矩形回路ABCD以垂直于导线的速度v远离导线运动时，根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势为：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}(\frac{{\mu }_{0}I(t)l}{2\pi }\ln \frac{a+b+vt}{a+vt})
$$
代入 $I(t)={I}_{0}\sin \omega t$，得到：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=\frac{{\mu }_{0}{I}_{0}l}{2\pi }(\frac{1}{a+vt}-\frac{1}{a+b+vt})\sin \omega t-\frac{{\mu }_{0}{I}_{0}l\omega }{2\pi }\ln \frac{a+b+vt}{a+vt}\cos \omega t
$$
当长直导线中电流恒定，矩形回路ABCD以垂直于导线的速度v远离导线平移时，根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势为：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=\oint_{ABCDA} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi}{dt}
$$
其中，$\Phi$是穿过回路的磁通量。由于电流恒定，磁通量的变化率仅由回路位置的变化引起。因此，感应电动势为：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }(\frac{1}{a+vt}-\frac{1}{a+b+vt})
$$
步骤 2：计算长直导线中电流随时间变化时的感应电动势
当长直导线中电流随时间变化，矩形回路ABCD不动时，根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势为：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}(\frac{{\mu }_{0}I(t)l}{2\pi }\ln \frac{a+b}{a})
$$
代入 $I(t)={I}_{0}\sin \omega t$，得到：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=\frac{{\mu }_{0}{I}_{0}l}{2\pi }\ln \frac{a+b}{a}\cos \omega t
$$
步骤 3：计算长直导线中电流随时间变化且矩形回路ABCD远离导线运动时的感应电动势
当长直导线中电流随时间变化，矩形回路ABCD以垂直于导线的速度v远离导线运动时，根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势为：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}(\frac{{\mu }_{0}I(t)l}{2\pi }\ln \frac{a+b+vt}{a+vt})
$$
代入 $I(t)={I}_{0}\sin \omega t$，得到：
$$
{\varepsilon }_{ABCDA}=\frac{{\mu }_{0}{I}_{0}l}{2\pi }(\frac{1}{a+vt}-\frac{1}{a+b+vt})\sin \omega t-\frac{{\mu }_{0}{I}_{0}l\omega }{2\pi }\ln \frac{a+b+vt}{a+vt}\cos \omega t
$$