题目
3-19 如习题 3-19 图所示,刚体由长为l,质量为m的匀质细杆和一质量为m的小球牢固连结在-|||-杆的一端而成,可绕过杆的另一端O点的水平轴转动.先将杆拉至水平然后让其自由转下.若轴处摩擦可-|||-以忽略.求:(1)刚体绕O轴的转动惯量;(2)当杆与竖直线成θ角时,刚体的角速度w.-|||-θ m-|||-i-|||-m
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算刚体绕O轴的转动惯量
刚体由一个质量为m的匀质细杆和一个质量为m的小球组成。根据转动惯量的叠加原理，刚体绕O轴的转动惯量等于细杆和小球绕O轴转动惯量之和。
细杆绕O轴的转动惯量为：$I_{rod} = \dfrac {1}{3}m{l}^{2}$
小球绕O轴的转动惯量为：$I_{ball} = m{l}^{2}$
因此，刚体绕O轴的转动惯量为：$I = I_{rod} + I_{ball} = \dfrac {1}{3}m{l}^{2} + m{l}^{2} = \dfrac {4}{3}m{l}^{2}$
步骤 2：计算当杆与竖直线成θ角时，刚体的角速度
当杆与竖直线成θ角时，刚体的重力势能转化为动能。根据机械能守恒定律，刚体的重力势能变化等于其动能变化。
重力势能变化为：$\Delta U = mg\left(\dfrac {l}{2}\right)(1-\cos \theta) + mgl(1-\cos \theta) = \dfrac {3}{2}mgl(1-\cos \theta)$
动能变化为：$\Delta K = \dfrac {1}{2}I{\omega}^{2}$
根据机械能守恒定律，有：$\Delta U = \Delta K$
即：$\dfrac {3}{2}mgl(1-\cos \theta) = \dfrac {1}{2}I{\omega}^{2}$
代入刚体绕O轴的转动惯量，得到：$\dfrac {3}{2}mgl(1-\cos \theta) = \dfrac {1}{2}\dfrac {4}{3}m{l}^{2}{\omega}^{2}$
化简得到：$\omega = \dfrac {3}{2}\sqrt {\dfrac {g}{l}}\cos \theta$
刚体由一个质量为m的匀质细杆和一个质量为m的小球组成。根据转动惯量的叠加原理，刚体绕O轴的转动惯量等于细杆和小球绕O轴转动惯量之和。
细杆绕O轴的转动惯量为：$I_{rod} = \dfrac {1}{3}m{l}^{2}$
小球绕O轴的转动惯量为：$I_{ball} = m{l}^{2}$
因此，刚体绕O轴的转动惯量为：$I = I_{rod} + I_{ball} = \dfrac {1}{3}m{l}^{2} + m{l}^{2} = \dfrac {4}{3}m{l}^{2}$
步骤 2：计算当杆与竖直线成θ角时，刚体的角速度
当杆与竖直线成θ角时，刚体的重力势能转化为动能。根据机械能守恒定律，刚体的重力势能变化等于其动能变化。
重力势能变化为：$\Delta U = mg\left(\dfrac {l}{2}\right)(1-\cos \theta) + mgl(1-\cos \theta) = \dfrac {3}{2}mgl(1-\cos \theta)$
动能变化为：$\Delta K = \dfrac {1}{2}I{\omega}^{2}$
根据机械能守恒定律，有：$\Delta U = \Delta K$
即：$\dfrac {3}{2}mgl(1-\cos \theta) = \dfrac {1}{2}I{\omega}^{2}$
代入刚体绕O轴的转动惯量，得到：$\dfrac {3}{2}mgl(1-\cos \theta) = \dfrac {1}{2}\dfrac {4}{3}m{l}^{2}{\omega}^{2}$
化简得到：$\omega = \dfrac {3}{2}\sqrt {\dfrac {g}{l}}\cos \theta$