题目
13.一个质量为m的小球在一个光滑的半径为R的球形碗底作微小振动,如图所示.设 t=0-|||-时, theta =0, 小球的速度为v0,向右运动.证明在振幅很小的情况下小球作简谐振动,并求出-|||-小球的振动方程.-|||-O-|||-R-|||-第13题图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定小球的运动方程
在球形碗底，小球受到重力和法向力的作用。由于碗底是光滑的，法向力不做功，因此只考虑重力的切向分量。设小球的角位移为 $\theta$，则重力的切向分量为 $mg\sin\theta$。根据牛顿第二定律，有：
$$-mg\sin\theta = ma$$
其中，$a$ 是小球的切向加速度。由于 $a = R\frac{d^2\theta}{dt^2}$，代入上式得：
$$-mg\sin\theta = mR\frac{d^2\theta}{dt^2}$$
步骤 2：近似处理
当振幅很小时，$\sin\theta \approx \theta$，因此上式可以简化为：
$$-mg\theta = mR\frac{d^2\theta}{dt^2}$$
即：
$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{R}\theta = 0$$
这是一个简谐振动的微分方程，其中角频率 $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$。
步骤 3：求解振动方程
设小球的振动方程为：
$$\theta = \theta_0 \cos(\omega t + \varphi)$$
其中，$\theta_0$ 是振幅，$\varphi$ 是初相位。根据初始条件 $t=0$ 时，$\theta = 0$，$\frac{d\theta}{dt} = \frac{v_0}{R}$，代入振动方程及其导数：
$$0 = \theta_0 \cos\varphi$$
$$\frac{v_0}{R} = -\omega \theta_0 \sin\varphi$$
由于小球向右运动，$\varphi = -\frac{\pi}{2}$，代入上式得：
$$\theta_0 = \frac{v_0}{\omega R}$$
因此，小球的振动方程为：
$$\theta = \frac{v_0}{\omega R} \cos\left(\sqrt{\frac{g}{R}}t - \frac{\pi}{2}\right)$$
在球形碗底，小球受到重力和法向力的作用。由于碗底是光滑的，法向力不做功，因此只考虑重力的切向分量。设小球的角位移为 $\theta$，则重力的切向分量为 $mg\sin\theta$。根据牛顿第二定律，有：
$$-mg\sin\theta = ma$$
其中，$a$ 是小球的切向加速度。由于 $a = R\frac{d^2\theta}{dt^2}$，代入上式得：
$$-mg\sin\theta = mR\frac{d^2\theta}{dt^2}$$
步骤 2：近似处理
当振幅很小时，$\sin\theta \approx \theta$，因此上式可以简化为：
$$-mg\theta = mR\frac{d^2\theta}{dt^2}$$
即：
$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{R}\theta = 0$$
这是一个简谐振动的微分方程，其中角频率 $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$。
步骤 3：求解振动方程
设小球的振动方程为：
$$\theta = \theta_0 \cos(\omega t + \varphi)$$
其中，$\theta_0$ 是振幅，$\varphi$ 是初相位。根据初始条件 $t=0$ 时，$\theta = 0$，$\frac{d\theta}{dt} = \frac{v_0}{R}$，代入振动方程及其导数：
$$0 = \theta_0 \cos\varphi$$
$$\frac{v_0}{R} = -\omega \theta_0 \sin\varphi$$
由于小球向右运动，$\varphi = -\frac{\pi}{2}$，代入上式得：
$$\theta_0 = \frac{v_0}{\omega R}$$
因此，小球的振动方程为：
$$\theta = \frac{v_0}{\omega R} \cos\left(\sqrt{\frac{g}{R}}t - \frac{\pi}{2}\right)$$