题目
2-22 质量为45.0kg的物体,由地面以初速度 .0mcdot (s)^-1 竖直向上发射,-|||-物体受到空气的阻力为 _(r)=kv, 且 =0.03kgcdot (s)^-1 (1)求物体发射到最大高度-|||-所需的时间;(2)最大高度为多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定物体上升过程中的受力情况
物体在上升过程中受到重力 $mg$ 和空气阻力 ${F}_{r}=kv$ 的作用，其中 $k=0.03kg\cdot {s}^{-1}$，$v$ 是物体的速度。根据牛顿第二定律，物体的加速度 $a$ 可以表示为 $a=\dfrac{F_{net}}{m}=\dfrac{-mg-kv}{m}$。
步骤 2：求解物体上升到最大高度所需的时间
物体上升到最大高度时，速度 $v$ 为零。根据牛顿第二定律，物体的加速度 $a$ 可以表示为 $a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{-mg-kv}{m}$。将 $a$ 代入，得到 $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{-mg-kv}{m}$。这是一个一阶线性微分方程，可以通过分离变量法求解。分离变量后，得到 $\dfrac{dv}{mg+kv}=-\dfrac{dt}{m}$。对两边积分，得到 $\int_{v_0}^{0}\dfrac{dv}{mg+kv}=-\dfrac{1}{m}\int_{0}^{t}dt$。积分后，得到 $\dfrac{1}{k}\ln\left(\dfrac{mg+kv_0}{mg}\right)=-\dfrac{t}{m}$。解得 $t=\dfrac{m}{k}\ln\left(1+\dfrac{k{v}_{0}}{mg}\right)$。
步骤 3：求解物体上升的最大高度
物体上升的最大高度可以通过速度与位置的关系求解。根据 $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{vdv}{dy}$，将 $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{-mg-kv}{m}$ 代入，得到 $\dfrac{vdv}{dy}=\dfrac{-mg-kv}{m}$。分离变量后，得到 $\dfrac{vdv}{mg+kv}=-\dfrac{dy}{m}$。对两边积分，得到 $\int_{v_0}^{0}\dfrac{vdv}{mg+kv}=-\dfrac{1}{m}\int_{0}^{y}dy$。积分后，得到 $\dfrac{1}{2k}\ln\left(\dfrac{mg+kv_0}{mg}\right)-\dfrac{v_0}{k}=-\dfrac{y}{m}$。解得 $y=-\dfrac{m}{k}\left[\dfrac{mg}{k}\ln\left(1+\dfrac{k{v}_{0}}{mg}\right)-{v}_{0}\right]$。
物体在上升过程中受到重力 $mg$ 和空气阻力 ${F}_{r}=kv$ 的作用，其中 $k=0.03kg\cdot {s}^{-1}$，$v$ 是物体的速度。根据牛顿第二定律，物体的加速度 $a$ 可以表示为 $a=\dfrac{F_{net}}{m}=\dfrac{-mg-kv}{m}$。
步骤 2：求解物体上升到最大高度所需的时间
物体上升到最大高度时，速度 $v$ 为零。根据牛顿第二定律，物体的加速度 $a$ 可以表示为 $a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{-mg-kv}{m}$。将 $a$ 代入，得到 $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{-mg-kv}{m}$。这是一个一阶线性微分方程，可以通过分离变量法求解。分离变量后，得到 $\dfrac{dv}{mg+kv}=-\dfrac{dt}{m}$。对两边积分，得到 $\int_{v_0}^{0}\dfrac{dv}{mg+kv}=-\dfrac{1}{m}\int_{0}^{t}dt$。积分后，得到 $\dfrac{1}{k}\ln\left(\dfrac{mg+kv_0}{mg}\right)=-\dfrac{t}{m}$。解得 $t=\dfrac{m}{k}\ln\left(1+\dfrac{k{v}_{0}}{mg}\right)$。
步骤 3：求解物体上升的最大高度
物体上升的最大高度可以通过速度与位置的关系求解。根据 $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{vdv}{dy}$，将 $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{-mg-kv}{m}$ 代入，得到 $\dfrac{vdv}{dy}=\dfrac{-mg-kv}{m}$。分离变量后，得到 $\dfrac{vdv}{mg+kv}=-\dfrac{dy}{m}$。对两边积分，得到 $\int_{v_0}^{0}\dfrac{vdv}{mg+kv}=-\dfrac{1}{m}\int_{0}^{y}dy$。积分后，得到 $\dfrac{1}{2k}\ln\left(\dfrac{mg+kv_0}{mg}\right)-\dfrac{v_0}{k}=-\dfrac{y}{m}$。解得 $y=-\dfrac{m}{k}\left[\dfrac{mg}{k}\ln\left(1+\dfrac{k{v}_{0}}{mg}\right)-{v}_{0}\right]$。