9-7 如图所示,两条平行的无限长均匀带电直线,相距为d,线电荷密度分别为 +lambda 和 -lambda ,-|||-求两线构成的平面的中垂面上的场强分布.-|||-y↑-|||-E-|||-+λ -λ-|||-0-|||-d x-|||-题 9-7 图

考查要点：本题主要考查无限长均匀带电直线的电场叠加问题，以及对称性在电场计算中的应用。

解题核心思路：

1. 单根线电荷的场强公式：无限长均匀带电直线的电场强度为 $E = \dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$，方向与线电荷的正负相关。
2. 矢量叠加原理：分别计算两个线电荷在中垂面上某点的场强，再进行矢量叠加。
3. 对称性简化：利用中垂面上的对称性，发现两个线电荷的场强在垂直于连线方向（y方向）的分量相互抵消，仅保留沿连线方向（x方向）的分量。

破题关键点：

• 正确写出两个线电荷在中垂面上某点的场强表达式。
• 通过几何关系确定各分量的方向，利用对称性简化计算。

场强的矢量叠加

1. 确定几何关系
   两线电荷分别位于 $x=0$ 和 $x=d$，沿 $y$ 轴无限延伸。中垂面上任一点 $P$ 的坐标为 $(d/2, y)$。

   • 到 $x=0$ 线电荷的距离：$r_1 = \sqrt{(d/2)^2 + y^2}$
   • 到 $x=d$ 线电荷的距离：$r_2 = \sqrt{(d/2)^2 + y^2}$（对称性，$r_1 = r_2$）

2. 单根线电荷的场强

   • 正线电荷（$+\lambda$）的场强 $\vec{E}_1$：大小为 $\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r_1}$，方向沿 $P$ 点与 $x=0$ 的连线向外。
   • 负线电荷（$-\lambda$）的场强 $\vec{E}_2$：大小为 $\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r_2}$，方向沿 $P$ 点与 $x=d$ 的连线向内。

3. 场强的分量叠加

   • x方向分量：
     $\vec{E}_{1x} = \dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r_1} \cdot \dfrac{d/2}{r_1} = \dfrac{\lambda d}{4\pi \varepsilon_0 r_1^2}$
     $\vec{E}_{2x} = \dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r_2} \cdot \dfrac{d/2}{r_2} = \dfrac{\lambda d}{4\pi \varepsilon_0 r_1^2}$
     总 x 分量：$\vec{E}_x = \vec{E}_{1x} + \vec{E}_{2x} = \dfrac{\lambda d}{2\pi \varepsilon_0 r_1^2}$
   • y方向分量：
     $\vec{E}_{1y} = \dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r_1} \cdot \dfrac{y}{r_1} = \dfrac{\lambda y}{2\pi \varepsilon_0 r_1^2}$
     $\vec{E}_{2y} = \dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r_2} \cdot \dfrac{-y}{r_2} = \dfrac{-\lambda y}{2\pi \varepsilon_0 r_1^2}$
     总 y 分量：$\vec{E}_y = \vec{E}_{1y} + \vec{E}_{2y} = 0$

4. 最终场强
   总场强仅沿 x 轴正方向，大小为：
   $E = \dfrac{\lambda d}{2\pi \varepsilon_0 \left( \dfrac{d^2}{4} + y^2 \right)}$