题目
地-|||-A. 12一人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A，远地点为B，A、B两点距地心分别为r1、r2，设卫星质量为m，地球质量为M，万有引力常数为G，则卫星在A、B两点处的万有引力势能之差EPB-EPA= ____ ；卫星在A、B两点的动能之差EKB-EKA= ____ 。
一人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A，远地点为B，A、B两点距地心分别为r1、r2，设卫星质量为m，地球质量为M，万有引力常数为G，则卫星在A、B两点处的万有引力势能之差EPB-EPA= ____ ；卫星在A、B两点的动能之差EKB-EKA= ____ 。题目解答
答案
解：卫星在A、B两点引力势能差：
ΔEP=EPB-EPA=$\frac{GMm}{{r}_{2}^{2}}•{r}_{2}$-$\frac{GMm}{{r}_{1}^{2}}•{r}_{1}$=GMm（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
卫星在A、B两点万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
则ΔEP=EkB-EkA=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：EkB-EkA=$\frac{1}{2}GMm$（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
故答案为：GMm（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$），$\frac{1}{2}GMm$（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
ΔEP=EPB-EPA=$\frac{GMm}{{r}_{2}^{2}}•{r}_{2}$-$\frac{GMm}{{r}_{1}^{2}}•{r}_{1}$=GMm（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
卫星在A、B两点万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
则ΔEP=EkB-EkA=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：EkB-EkA=$\frac{1}{2}GMm$（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
故答案为：GMm（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$），$\frac{1}{2}GMm$（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
解析
步骤 1：计算引力势能差
引力势能的公式为 $E_P = -\frac{GMm}{r}$，其中 $G$ 是万有引力常数，$M$ 是地球质量，$m$ 是卫星质量，$r$ 是距离地心的距离。因此，卫星在A、B两点的引力势能分别为 $E_{PA} = -\frac{GMm}{r_1}$ 和 $E_{PB} = -\frac{GMm}{r_2}$。引力势能之差为 $E_{PB} - E_{PA} = -\frac{GMm}{r_2} + \frac{GMm}{r_1} = GMm(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) = GMm(\frac{r_2 - r_1}{r_1r_2})$。
步骤 2：计算动能差
根据万有引力提供向心力的公式 $\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$，可以得到卫星在A、B两点的速度分别为 $v_A = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}$ 和 $v_B = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}$。动能的公式为 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$，因此卫星在A、B两点的动能分别为 $E_{kA} = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{r_1})$ 和 $E_{kB} = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{r_2})$。动能之差为 $E_{kB} - E_{kA} = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{r_2} - \frac{GM}{r_1}) = \frac{1}{2}GMm(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}) = \frac{1}{2}GMm(\frac{r_1 - r_2}{r_1r_2})$。
引力势能的公式为 $E_P = -\frac{GMm}{r}$，其中 $G$ 是万有引力常数，$M$ 是地球质量，$m$ 是卫星质量，$r$ 是距离地心的距离。因此，卫星在A、B两点的引力势能分别为 $E_{PA} = -\frac{GMm}{r_1}$ 和 $E_{PB} = -\frac{GMm}{r_2}$。引力势能之差为 $E_{PB} - E_{PA} = -\frac{GMm}{r_2} + \frac{GMm}{r_1} = GMm(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) = GMm(\frac{r_2 - r_1}{r_1r_2})$。
步骤 2：计算动能差
根据万有引力提供向心力的公式 $\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$，可以得到卫星在A、B两点的速度分别为 $v_A = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}$ 和 $v_B = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}$。动能的公式为 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$，因此卫星在A、B两点的动能分别为 $E_{kA} = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{r_1})$ 和 $E_{kB} = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{r_2})$。动能之差为 $E_{kB} - E_{kA} = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{r_2} - \frac{GM}{r_1}) = \frac{1}{2}GMm(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}) = \frac{1}{2}GMm(\frac{r_1 - r_2}{r_1r_2})$。