题目
9-5.当质点以频率v作简谐振动时,它的动能的变化频率为( )A.v/2B.VC.2vD.4v
9-5.当质点以频率v作简谐振动时,它的动能的变化频率为{ }
A.v/2
B.V
C.2v
D.4v
题目解答
答案
1. 根据简谐振动的定义，质点的位移可以描述为：
其中，A是振幅，v是频率，t是时间，
是初相。
2. 由质点位移表达式得到速度表达式（对x(t)关于时间t求导）：
3. 将速度的表达式代入动能的表达式：
4. 观察到动能表达式中的
。由三角恒等式，我们知道
= 
。所以，动能表达式变为：
从上述表达式可以观察到，动能的表达式中出现了
，也就是说动能随时间变化的频率是原振动频率的两倍。
答案是：
C. 2v
解析
步骤 1：简谐振动的位移表达式
质点的位移可以描述为：$x(t)=A\sin (2\pi vt+\phi )$，其中，A是振幅，v是频率，t是时间，$\phi$是初相。
步骤 2：速度表达式
由质点位移表达式得到速度表达式（对$x(t)$关于时间t求导）：$v(t)=2\pi vA\cos (2\pi vt+\phi )$。
步骤 3：动能表达式
将速度的表达式代入动能的表达式：$E_k(t)=\dfrac {1}{2}m{(v(t))}^{2}=\dfrac {1}{2}m(2\pi vA\cos (2\pi vt+\phi ))^2$。
$E_k(t)=2{\pi }^{2}m{v}^{2}{A}^{2}{\cos }^{2}(2\pi vt+\phi )$。
步骤 4：动能变化频率
观察到动能表达式中的${\cos }^{2}(2\pi vt+\phi )$。由三角恒等式，我们知道$\cos^2(\theta) = \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}$。所以，动能表达式变为：
$E_k(t)={\pi }^{2}m{v}^{2}{A}^{2}[ \dfrac {1+\cos (4\pi vt+2\phi )}{2}]$。
从上述表达式可以观察到，动能的表达式中出现了$\cos(4\pi vt+2\phi)$，也就是说动能随时间变化的频率是原振动频率的两倍。
质点的位移可以描述为：$x(t)=A\sin (2\pi vt+\phi )$，其中，A是振幅，v是频率，t是时间，$\phi$是初相。
步骤 2：速度表达式
由质点位移表达式得到速度表达式（对$x(t)$关于时间t求导）：$v(t)=2\pi vA\cos (2\pi vt+\phi )$。
步骤 3：动能表达式
将速度的表达式代入动能的表达式：$E_k(t)=\dfrac {1}{2}m{(v(t))}^{2}=\dfrac {1}{2}m(2\pi vA\cos (2\pi vt+\phi ))^2$。
$E_k(t)=2{\pi }^{2}m{v}^{2}{A}^{2}{\cos }^{2}(2\pi vt+\phi )$。
步骤 4：动能变化频率
观察到动能表达式中的${\cos }^{2}(2\pi vt+\phi )$。由三角恒等式，我们知道$\cos^2(\theta) = \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}$。所以，动能表达式变为：
$E_k(t)={\pi }^{2}m{v}^{2}{A}^{2}[ \dfrac {1+\cos (4\pi vt+2\phi )}{2}]$。
从上述表达式可以观察到，动能的表达式中出现了$\cos(4\pi vt+2\phi)$，也就是说动能随时间变化的频率是原振动频率的两倍。