9-5.当质点以频率v作简谐振动时,它的动能的变化频率为( )A.v/2B.VC.2vD.4v

考查要点：本题主要考查简谐振动中动能变化频率的计算，涉及简谐振动的运动学方程、动能表达式以及三角恒等式的应用。

解题核心思路：

1. 简谐振动的位移表达式：质点的位移随时间变化的函数为 $x(t) = A\sin(2\pi vt + \phi)$，其中 $v$ 是振动频率。
2. 速度与动能的关系：通过求导得到速度表达式，代入动能公式，得到动能随时间变化的表达式。
3. 三角恒等式化简：利用 $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$，将动能表达式转化为含余弦项的形式，从而确定动能变化的频率。

破题关键点：

• 动能表达式中的余弦平方项会转化为频率为原振动两倍的余弦项，因此动能变化的频率是振动频率的两倍。

1. 位移与速度表达式
   简谐振动的位移为：
   $x(t) = A\sin(2\pi vt + \phi)$
   对时间求导得速度：
   $v(t) = \frac{dx}{dt} = 2\pi vA\cos(2\pi vt + \phi)$

2. 动能表达式
   代入动能公式 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$：
   $E_k(t) = \frac{1}{2}m(2\pi vA\cos(2\pi vt + \phi))^2 = 2\pi^2 m v^2 A^2 \cos^2(2\pi vt + \phi)$

3. 三角恒等式化简
   利用 $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$：
   $E_k(t) = 2\pi^2 m v^2 A^2 \cdot \frac{1 + \cos(4\pi vt + 2\phi)}{2} = \pi^2 m v^2 A^2 \left[1 + \cos(4\pi vt + 2\phi)\right]$
   其中 $\cos(4\pi vt + 2\phi)$ 的角频率为 $4\pi v$，对应频率为 $2v$。因此，动能变化的频率为 $2v$。