题目

1-12 已知 =10kN, F作用线由A(0,2,4)点指向B(1,1,0)点,试写出该-|||-力对坐标原点O的矩的矢量表达式。长度单位为m。

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查力对点的矩的矢量计算，涉及向量叉乘的应用。

解题核心思路：

  1. 确定力矢量：根据力作用线方向（点A到点B的向量）和力的大小，求出力的矢量表达式。
  2. 选择位置矢量：从原点O到力作用线上的任意一点（如A或B）的矢量。
  3. 计算叉乘：利用位置矢量与力矢量的叉乘得到力矩矢量。

破题关键点：

  • 正确计算力矢量：需将作用线方向单位化后乘以力的大小。
  • 叉乘公式的准确应用：注意行列式展开的符号和分量对应关系。

步骤1：确定力矢量$\boldsymbol{F}$

  1. 计算向量$\boldsymbol{AB}$：
    $\boldsymbol{AB} = B - A = (1-0, 1-2, 0-4) = (1, -1, -4)$
  2. 求模长：
    $|\boldsymbol{AB}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
  3. 单位化：
    $\hat{\boldsymbol{u}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}(1, -1, -4)$
  4. 力矢量表达式：
    $\boldsymbol{F} = 10\,\text{kN} \cdot \hat{\boldsymbol{u}} = \frac{10}{3\sqrt{2}}(1, -1, -4)\,\text{kN}$

步骤2：选择位置矢量$\boldsymbol{r}$

取原点O到点A的矢量：
$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{OA} = (0, 2, 4)$

步骤3：计算叉乘$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$

$\boldsymbol{M} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\0 & 2 & 4 \\\frac{10}{3\sqrt{2}} & -\frac{10}{3\sqrt{2}} & -\frac{40}{3\sqrt{2}}\end{vmatrix}$

分量计算：

  • i分量：
    $2 \cdot \left(-\frac{40}{3\sqrt{2}}\right) - 4 \cdot \left(-\frac{10}{3\sqrt{2}}\right) = -\frac{40}{3\sqrt{2}}$
  • j分量：
    $- \left[0 \cdot \left(-\frac{40}{3\sqrt{2}}\right) - 4 \cdot \frac{10}{3\sqrt{2}} \right] = \frac{40}{3\sqrt{2}}$
  • k分量：
    $0 \cdot \left(-\frac{10}{3\sqrt{2}}\right) - 2 \cdot \frac{10}{3\sqrt{2}} = -\frac{20}{3\sqrt{2}}$

步骤4：化简结果

将分量转换为数值（$\sqrt{2} \approx 1.414$）：

  • i分量：
    $-\frac{40}{3 \cdot 1.414} \approx -9.43$
  • j分量：
    $\frac{40}{3 \cdot 1.414} \approx 9.43$
  • k分量：
    $-\frac{20}{3 \cdot 1.414} \approx -4.71$