题目
一铜球的 直径 3 cm 初始温度为突然浸入的流体中表面传热系数为求铜球冷却到所需要的时间
一铜球的 直径 3 cm 初始温度为
突然浸入
的流体中表面传热系数为
求铜球冷却到
所需要的时间
题目解答
答案
要求解铜球从初始温度
冷却到
所需的时间，我们可以使用热传导的基本原理。具体方法涉及到一维瞬态热传导方程的求解，但这里我们可以采用一个简化模型来估算冷却时间。由于问题涉及到时间的估算，下面的解法将以简单的近似计算为主。
步骤：
计算铜球的表面积和体积：
铜球的直径
，半径
。
表面积 ( A )：
体积 ( V )：
使用热传导公式来估算冷却时间：
根据牛顿冷却定律，冷却过程的速率与表面温度和流体温度之间的温差成正比。可以使用以下公式估算冷却时间：
其中：
( T ) 是铜球的温度。
是流体的温度。
是表面传热系数。
是铜的密度
。
是铜的比热容
。
( A ) 是表面积，( V ) 是体积。
冷却时间 ( t ) 的估算可以通过以下近似公式给出：
其中：
是初始温度。
是最终温度。
代入数值：
结果：
铜球从冷却到的估算时间约为 4.9 秒。
解析
步骤 1：计算铜球的表面积和体积
铜球的直径为 3 cm，即 0.03 m，半径为 0.015 m。
表面积 A：$A = 4\pi r^2 = 4\pi (0.015)^2 = 2.827 \times 10^{-3} m^2$
体积 V：$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (0.015)^3 = 1.413 \times 10^{-5} m^3$
步骤 2：使用牛顿冷却定律估算冷却时间
牛顿冷却定律的公式为：$\frac{dT}{dt} = -\frac{hA}{\rho c_p V}(T - T_{\infty})$
其中，$T$ 是铜球的温度，$T_{\infty} = 20^{\circ}C$ 是流体的温度，$h = 50 W/(m^2 \cdot K)$ 是表面传热系数，$\rho = 8.96 \times 10^3 kg/m^3$ 是铜的密度，$c_p = 385 J/(kg \cdot K)$ 是铜的比热容，$A$ 是表面积，$V$ 是体积。
冷却时间 $t$ 的估算公式为：$t \approx \frac{\rho c_p V}{hA} \ln \left(\frac{T_i - T_{\infty}}{T_f - T_{\infty}}\right)$
其中，$T_i = 100^{\circ}C$ 是初始温度，$T_f = 40^{\circ}C$ 是最终温度。
步骤 3：代入数值计算冷却时间
$t \approx \frac{8.96 \times 10^3 \times 385 \times 1.413 \times 10^{-5}}{50 \times 2.827 \times 10^{-3}} \ln \left(\frac{100 - 20}{40 - 20}\right)$
$t \approx \frac{4.984 \times 10^2}{1.414 \times 10^{-1}} \ln (4)$
$t \approx 3.527 s \times 1.386$
$t \approx 4.9 s$
铜球的直径为 3 cm，即 0.03 m，半径为 0.015 m。
表面积 A：$A = 4\pi r^2 = 4\pi (0.015)^2 = 2.827 \times 10^{-3} m^2$
体积 V：$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (0.015)^3 = 1.413 \times 10^{-5} m^3$
步骤 2：使用牛顿冷却定律估算冷却时间
牛顿冷却定律的公式为：$\frac{dT}{dt} = -\frac{hA}{\rho c_p V}(T - T_{\infty})$
其中，$T$ 是铜球的温度，$T_{\infty} = 20^{\circ}C$ 是流体的温度，$h = 50 W/(m^2 \cdot K)$ 是表面传热系数，$\rho = 8.96 \times 10^3 kg/m^3$ 是铜的密度，$c_p = 385 J/(kg \cdot K)$ 是铜的比热容，$A$ 是表面积，$V$ 是体积。
冷却时间 $t$ 的估算公式为：$t \approx \frac{\rho c_p V}{hA} \ln \left(\frac{T_i - T_{\infty}}{T_f - T_{\infty}}\right)$
其中，$T_i = 100^{\circ}C$ 是初始温度，$T_f = 40^{\circ}C$ 是最终温度。
步骤 3：代入数值计算冷却时间
$t \approx \frac{8.96 \times 10^3 \times 385 \times 1.413 \times 10^{-5}}{50 \times 2.827 \times 10^{-3}} \ln \left(\frac{100 - 20}{40 - 20}\right)$
$t \approx \frac{4.984 \times 10^2}{1.414 \times 10^{-1}} \ln (4)$
$t \approx 3.527 s \times 1.386$
$t \approx 4.9 s$