题目
-14 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F =120t +40,式中F 的单位为N,t 的单位的s.在t =0 时,质点位于x =5.0 m处,其速度v0=6.0 m?s-1 .求质点在任意时刻的速度和位置.
-14 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F =120t +40,式中F 的单位为N,t 的单位的s.在t =0 时,质点位于x =5.0 m处,其速度v0=6.0 m?s-1 .求质点在任意时刻的速度和位置.
题目解答
答案
分析 这是在变力作用下的动力学问题.由于力是时间的函数,而加速度a=dv/dt,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t);由速度的定义v=dx /dt,用积分的方法可求出质点的位置.解 因加速度a=dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有依据质点运动的初始条件,即t0 =0 时v0 =6.0 m?s-1 ,运用分离变量法对上式积分,得v=6.0+4.0t+6.0t2又因v=dx /dt,并由质点运动的初始条件:t0 =0 时x0 =5.0 m,对上式分离变量后积分,有x =5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t3
解析
步骤 1：确定加速度
根据牛顿第二定律，力F等于质量m乘以加速度a，即F = ma。因此，加速度a = F/m。将给定的力F = 120t + 40和质量m = 10 kg代入，得到a = (120t + 40) / 10 = 12t + 4。
步骤 2：求解速度
加速度a是速度v对时间t的导数，即a = dv/dt。因此，速度v是加速度a对时间t的积分。对a = 12t + 4进行积分，得到v = ∫(12t + 4)dt = 6t^2 + 4t + C，其中C是积分常数。根据初始条件t = 0时v = 6.0 m/s，可以求出C = 6.0。因此，速度v = 6t^2 + 4t + 6。
步骤 3：求解位置
速度v是位置x对时间t的导数，即v = dx/dt。因此，位置x是速度v对时间t的积分。对v = 6t^2 + 4t + 6进行积分，得到x = ∫(6t^2 + 4t + 6)dt = 2t^3 + 2t^2 + 6t + D，其中D是积分常数。根据初始条件t = 0时x = 5.0 m，可以求出D = 5.0。因此，位置x = 2t^3 + 2t^2 + 6t + 5。
根据牛顿第二定律，力F等于质量m乘以加速度a，即F = ma。因此，加速度a = F/m。将给定的力F = 120t + 40和质量m = 10 kg代入，得到a = (120t + 40) / 10 = 12t + 4。
步骤 2：求解速度
加速度a是速度v对时间t的导数，即a = dv/dt。因此，速度v是加速度a对时间t的积分。对a = 12t + 4进行积分，得到v = ∫(12t + 4)dt = 6t^2 + 4t + C，其中C是积分常数。根据初始条件t = 0时v = 6.0 m/s，可以求出C = 6.0。因此，速度v = 6t^2 + 4t + 6。
步骤 3：求解位置
速度v是位置x对时间t的导数，即v = dx/dt。因此，位置x是速度v对时间t的积分。对v = 6t^2 + 4t + 6进行积分，得到x = ∫(6t^2 + 4t + 6)dt = 2t^3 + 2t^2 + 6t + D，其中D是积分常数。根据初始条件t = 0时x = 5.0 m，可以求出D = 5.0。因此，位置x = 2t^3 + 2t^2 + 6t + 5。