证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板来说:(1)相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;(2)相背的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

考查要点：本题主要考查静电平衡条件下无限大平行平面带电导体板的电荷分布规律，需结合高斯定理和导体内部电场为零的性质进行分析。

解题核心思路：

1. 导体内部电场为零是关键条件，需通过高斯定理建立电荷面密度与电场的关系。
2. 相向面的电荷由中间区域的电场叠加为零推导，相背面的电荷由导体板外侧电场叠加为零推导。
3. 注意区分不同面电荷的符号方向，正确应用场强叠加原理。

第（1）题

建立高斯面

取穿过两导体板之间区域的柱形高斯面，其左右两侧面分别与两导体板相向的面（设为$\sigma_2$和$\sigma_3$）接触，上下底面平行于板面且面积趋近于零。

计算电场通量

导体内部电场为零，高斯面左右两侧的电场通量为：
$\Phi_D = E_2 S + E_3 S = 0$
其中$E_2 = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0}$，$E_3 = \frac{\sigma_3}{\varepsilon_0}$（方向相反时符号取负）。

联立求解

根据高斯定理，通量等于包围电荷量：
$\frac{\sigma_2 + \sigma_3}{\varepsilon_0} S = 0 \implies \sigma_2 = -\sigma_3$

第（2）题

分析导体板外电场

以导体板A左侧的点P为例，该点电场由四个面电荷共同作用：
$E_P = \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_4}{2\varepsilon_0} = 0$

代入已知关系

由第（1）题结论$\sigma_2 = -\sigma_3$，代入得：
$\sigma_1 - \sigma_4 = \sigma_2 + \sigma_3 = 0 \implies \sigma_1 = \sigma_4$