证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板来说:(1)相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;(2)相背的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

步骤 1：建立高斯面
为了证明电荷面密度的性质，我们首先建立一个高斯面。考虑两个无限大的平行平面带电导体板，它们的电荷面密度分别为 ${\sigma }_{1}$, ${\sigma }_{2}$, ${\sigma }_{3}$, ${\sigma }_{4}$。我们选择一个柱形高斯面，其底面与导体板平行，且穿过导体板的相向面和相背面。

步骤 2：应用高斯定理
根据高斯定理，穿过高斯面的电通量等于高斯面内电荷的代数和除以介电常数 ${\varepsilon }_{0}$。由于导体内部的电场强度为0，穿过高斯面的电通量为0。因此，我们可以写出：
${\varphi }_{02}+{\varphi }_{03}+\Phi {D}_{0}={E}_{2}S+{E}_{3}S+0=0=\dfrac {{Q}_{2}+{Q}_{3}}{{\varepsilon }_{0}}S$
其中，${E}_{2}$ 和 ${E}_{3}$ 分别是穿过高斯面的电场强度，$S$ 是高斯面的底面积，${Q}_{2}$ 和 ${Q}_{3}$ 分别是高斯面内电荷的代数和。由于电荷面密度 ${\sigma }_{2}$ 和 ${\sigma }_{3}$ 与电场强度 ${E}_{2}$ 和 ${E}_{3}$ 成正比，我们可以得到：
${\sigma }_{2}=-{\sigma }_{3}$

步骤 3：考虑导体板中的点
对于A板中的P点，电场强度 ${E}_{p}$ 可以表示为：
${E}_{p}=\dfrac {{\sigma }_{1}}{2{\varepsilon }_{0}}-\dfrac {{\sigma }_{2}}{2{\varepsilon }_{0}}-\dfrac {{\sigma }_{3}}{2{\varepsilon }_{0}}-\dfrac {{\sigma }_{4}}{2{\varepsilon }_{0}}=0$
由于 ${\sigma }_{2}=-{\sigma }_{3}$，我们可以得到：
${\sigma }_{1}-{\sigma }_{4}={\sigma }_{2}+{\sigma }_{3}=0$
因此，${\sigma }_{1}={\sigma }_{4}$。