题目
10.20 电荷量q均匀分布在长为2l的细杆上,求在杆外延长线上与杆端距离为a的P-|||-点的电势(设无穷远处为电势零点)
题目解答
答案
10.20\\frac{Q}{8 \\pi s_{0}l}\\ln\\frac{a+2 l}{a}
解析
步骤 1：确定电荷分布和电势公式
细杆上的电荷量q均匀分布，因此线电荷密度为λ = q / (2l)。在点P处的电势V可以通过积分公式计算，即V = ∫(k dq / r)，其中k是库仑常数，dq是电荷微元，r是dq到点P的距离。
步骤 2：建立积分表达式
设细杆的中点为原点，杆沿x轴方向，点P位于x = a + l处。对于细杆上任意一点x，到点P的距离为r = |x - (a + l)|。因此，电势V的积分表达式为V = ∫_{-l}^{l} (k λ dx / |x - (a + l)|)。
步骤 3：计算积分
将λ = q / (2l)代入积分表达式，得到V = (k q / (2l)) ∫_{-l}^{l} (dx / |x - (a + l)|)。由于积分区间[-l, l]关于原点对称，可以将积分区间分为两部分，即V = (k q / (2l)) [∫_{-l}^{0} (dx / (a + l - x)) + ∫_{0}^{l} (dx / (x - a - l))]。计算这两个积分，得到V = (k q / (2l)) [ln(a + l + x) |_{-l}^{0} - ln(x - a - l) |_{0}^{l}] = (k q / (2l)) [ln(a + l) - ln(a + l - l) - ln(l - a - l) + ln(-a - l)] = (k q / (2l)) [ln(a + l) - ln(a) - ln(-a) + ln(a + l)] = (k q / (2l)) [2 ln(a + l) - 2 ln(a)] = (k q / l) ln((a + l) / a)。
步骤 4：代入库仑常数k
将库仑常数k = 1 / (4πε₀)代入上式，得到V = (q / (4πε₀l)) ln((a + l) / a)。
细杆上的电荷量q均匀分布，因此线电荷密度为λ = q / (2l)。在点P处的电势V可以通过积分公式计算，即V = ∫(k dq / r)，其中k是库仑常数，dq是电荷微元，r是dq到点P的距离。
步骤 2：建立积分表达式
设细杆的中点为原点，杆沿x轴方向，点P位于x = a + l处。对于细杆上任意一点x，到点P的距离为r = |x - (a + l)|。因此，电势V的积分表达式为V = ∫_{-l}^{l} (k λ dx / |x - (a + l)|)。
步骤 3：计算积分
将λ = q / (2l)代入积分表达式，得到V = (k q / (2l)) ∫_{-l}^{l} (dx / |x - (a + l)|)。由于积分区间[-l, l]关于原点对称，可以将积分区间分为两部分，即V = (k q / (2l)) [∫_{-l}^{0} (dx / (a + l - x)) + ∫_{0}^{l} (dx / (x - a - l))]。计算这两个积分，得到V = (k q / (2l)) [ln(a + l + x) |_{-l}^{0} - ln(x - a - l) |_{0}^{l}] = (k q / (2l)) [ln(a + l) - ln(a + l - l) - ln(l - a - l) + ln(-a - l)] = (k q / (2l)) [ln(a + l) - ln(a) - ln(-a) + ln(a + l)] = (k q / (2l)) [2 ln(a + l) - 2 ln(a)] = (k q / l) ln((a + l) / a)。
步骤 4：代入库仑常数k
将库仑常数k = 1 / (4πε₀)代入上式，得到V = (q / (4πε₀l)) ln((a + l) / a)。