题目
图12-3为一沿x轴正向传播的平面余弦波在t=1/3s时的波形，其周期T=2s。求：（1）O点和P点的运动方程；（2）波动方程；（3）P点离O点的距离。y-|||--|||-) P-|||-20-|||-5 x/cm-|||-图 12-3
图12-3为一沿x轴正向传播的平面余弦波在t=1/3s时的波形，其周期T=2s。求：（1）O点和P点的运动方程；（2）波动方程；（3）P点离O点的距离。
题目解答
答案
（1）
，
时，
即
，
同理
，
，
（2）
（3）
，
解析
步骤 1：确定角频率和初相位
根据题目，周期T=2s，因此角频率$\omega =\dfrac {2\pi }{T}=\pi $。在t=1/3s时，O点的相位为$\dfrac {2}{3}\pi $，即$\omega \times \dfrac {1}{3}+\varphi =\dfrac {2}{3}\pi $，解得$\varphi =\dfrac {1}{3}\pi $。同理，P点的相位为$-\dfrac {\pi }{2}$，即$\omega \times \dfrac {1}{3}+\varphi =-\dfrac {\pi }{2}$，解得${\varphi }_{P}=-\dfrac {5\pi }{6}$。
步骤 2：写出O点和P点的运动方程
根据步骤1得到的初相位，O点的运动方程为${y}_{0}=0.1\cos (\pi t+\dfrac {1}{3}\pi )$，P点的运动方程为${y}_{p}=0.1\cos (\pi t-\dfrac {5}{6}\pi )$。
步骤 3：写出波动方程
波动方程的一般形式为$y=A\cos (\omega t-\dfrac {2\pi }{\lambda }x+\varphi )$，其中A为振幅，$\omega $为角频率，$\lambda $为波长，$\varphi $为初相位。根据题目，振幅A=0.1m，角频率$\omega =\pi $，波长$\lambda =0.2m$，初相位$\varphi =\dfrac {1}{3}\pi $，因此波动方程为${y}_{0}=0.1\cos [ \pi (t-\dfrac {x}{0.2})+\dfrac {1}{3}\pi ] $。
步骤 4：计算P点离O点的距离
根据波动方程，当t=1/3s时，O点的相位为$\dfrac {2}{3}\pi $，P点的相位为$-\dfrac {\pi }{2}$，因此$\pi (\dfrac {1}{3}-\dfrac {x}{0.2})+\dfrac {1}{3}\pi =-\dfrac {\pi }{2}$，解得x=0.23m。
根据题目，周期T=2s，因此角频率$\omega =\dfrac {2\pi }{T}=\pi $。在t=1/3s时，O点的相位为$\dfrac {2}{3}\pi $，即$\omega \times \dfrac {1}{3}+\varphi =\dfrac {2}{3}\pi $，解得$\varphi =\dfrac {1}{3}\pi $。同理，P点的相位为$-\dfrac {\pi }{2}$，即$\omega \times \dfrac {1}{3}+\varphi =-\dfrac {\pi }{2}$，解得${\varphi }_{P}=-\dfrac {5\pi }{6}$。
步骤 2：写出O点和P点的运动方程
根据步骤1得到的初相位，O点的运动方程为${y}_{0}=0.1\cos (\pi t+\dfrac {1}{3}\pi )$，P点的运动方程为${y}_{p}=0.1\cos (\pi t-\dfrac {5}{6}\pi )$。
步骤 3：写出波动方程
波动方程的一般形式为$y=A\cos (\omega t-\dfrac {2\pi }{\lambda }x+\varphi )$，其中A为振幅，$\omega $为角频率，$\lambda $为波长，$\varphi $为初相位。根据题目，振幅A=0.1m，角频率$\omega =\pi $，波长$\lambda =0.2m$，初相位$\varphi =\dfrac {1}{3}\pi $，因此波动方程为${y}_{0}=0.1\cos [ \pi (t-\dfrac {x}{0.2})+\dfrac {1}{3}\pi ] $。
步骤 4：计算P点离O点的距离
根据波动方程，当t=1/3s时，O点的相位为$\dfrac {2}{3}\pi $，P点的相位为$-\dfrac {\pi }{2}$，因此$\pi (\dfrac {1}{3}-\dfrac {x}{0.2})+\dfrac {1}{3}\pi =-\dfrac {\pi }{2}$，解得x=0.23m。