题目
1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)汽体分子方均根速率之比(2)分子平均自由程之比
1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间
(1)汽体分子方均根速率之比
(2)分子平均自由程之比
题目解答
答案
(1)由气体状态方程
$${p_1\over T_1}={p_2\over T_2}$$和$${p_2V_2}=p_3 V_3$$
方均根速率公式$$\sqrt{\overline {v^2}} =1.73\sqrt{RT\over M_{mol}}$$
$${\sqrt{\overline {v^2}_初} \over \sqrt{\overline {\tau ^2}_末} }=\sqrt{T_1\over T_2}=\sqrt{\rho _1\over \rho _2}={1\over \sqrt 2}$$
(2)对于理想气体，$$p=nkT$$即$$n={p\over kT$$
所以有$$\overline \lambda ={kT\over \sqrt2\pi d^2 p}$$
$${\overline\lambda _初\over\overline\lambda _末}={T_1p_2\over p_1T_2}=1$$
解析
步骤 1：确定初态和末态的压强和温度关系
根据题意，氧气先经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍。根据理想气体状态方程$${pV=nRT}$$，在等容升压过程中，体积不变，压强增大为原来的2倍，因此温度也增大为原来的2倍。在等温膨胀过程中，温度不变，体积增大为原来的2倍，因此压强减小为原来的1/2倍。
步骤 2：计算方均根速率之比
方均根速率公式为$$\sqrt{\overline {v^2}} =1.73\sqrt{RT\over M_{mol}}$$，其中$R$为理想气体常数，$T$为温度，$M_{mol}$为摩尔质量。由于初态和末态的温度之比为$T_1/T_2=1/2$，因此方均根速率之比为$$\sqrt{T_1\over T_2}=\sqrt{1\over 2}={1\over \sqrt 2}$$。
步骤 3：计算分子平均自由程之比
分子平均自由程公式为$$\overline \lambda ={kT\over \sqrt2\pi d^2 p}$$，其中$k$为玻尔兹曼常数，$T$为温度，$d$为分子直径，$p$为压强。由于初态和末态的温度之比为$T_1/T_2=1/2$，压强之比为$p_1/p_2=1/2$，因此分子平均自由程之比为$${\overline\lambda _初\over\overline\lambda _末}={T_1p_2\over p_1T_2}=1$$。
根据题意，氧气先经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍。根据理想气体状态方程$${pV=nRT}$$，在等容升压过程中，体积不变，压强增大为原来的2倍，因此温度也增大为原来的2倍。在等温膨胀过程中，温度不变，体积增大为原来的2倍，因此压强减小为原来的1/2倍。
步骤 2：计算方均根速率之比
方均根速率公式为$$\sqrt{\overline {v^2}} =1.73\sqrt{RT\over M_{mol}}$$，其中$R$为理想气体常数，$T$为温度，$M_{mol}$为摩尔质量。由于初态和末态的温度之比为$T_1/T_2=1/2$，因此方均根速率之比为$$\sqrt{T_1\over T_2}=\sqrt{1\over 2}={1\over \sqrt 2}$$。
步骤 3：计算分子平均自由程之比
分子平均自由程公式为$$\overline \lambda ={kT\over \sqrt2\pi d^2 p}$$，其中$k$为玻尔兹曼常数，$T$为温度，$d$为分子直径，$p$为压强。由于初态和末态的温度之比为$T_1/T_2=1/2$，压强之比为$p_1/p_2=1/2$，因此分子平均自由程之比为$${\overline\lambda _初\over\overline\lambda _末}={T_1p_2\over p_1T_2}=1$$。