题目
Z1X-04-19 (本题10分) 定滑轮半径为R,转动惯量为J,轻绳绕过滑轮,一端与固定的轻弹簧连接,弹簧的倔强系数为K;另一端挂一质量为m的物体,如图。现将m从平衡位置向下拉一微小距离后放手,试证物体作简谐振动,并求其振动周期。(设绳与滑轮间无滑动,轴的摩擦及空气阻力忽略不计)。
Z1X-04-19 (本题10分) 定滑轮半径为R,转动惯量为J,轻绳绕过滑轮,一端与固定的轻弹簧连接,弹簧的倔强系数为K;另一端挂一质量为m的物体,如图。现将m从平衡位置向下拉一微小距离后放手,试证物体作简谐振动,并求其振动周期。(设绳与滑轮间无滑动,轴的摩擦及空气阻力忽略不计)。
题目解答
答案
以物体的平衡位置为原点建立如图所示的坐标。物体的运动方程: ;滑轮的转动方程: , (2分)对于弹簧: , , (2分)由以上四个方程得到: , (3分)令 ;物体的运动微分方程: ,物体作简谐振动,振动周期为: 。 (3分)
解析
步骤 1：建立坐标系和运动方程
以物体的平衡位置为原点建立坐标系。物体的运动方程为：$m\ddot{x} = -kx + T$，其中$T$是绳子的张力。滑轮的转动方程为：$J\ddot{\theta} = TR$，其中$\theta$是滑轮的角位移，$R$是滑轮的半径。由于绳子与滑轮间无滑动，有$x = R\theta$，即$\ddot{x} = R\ddot{\theta}$。
步骤 2：联立运动方程
将$x = R\theta$代入滑轮的转动方程，得到$J\ddot{x}/R = TR$，即$T = J\ddot{x}/R^2$。将$T$代入物体的运动方程，得到$m\ddot{x} = -kx + J\ddot{x}/R^2$，整理得到$(m + J/R^2)\ddot{x} = -kx$。
步骤 3：求解振动方程
令$\omega^2 = k/(m + J/R^2)$，则振动方程为$\ddot{x} + \omega^2x = 0$，这是一个简谐振动方程。因此，物体作简谐振动，其振动周期为$T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{(m + J/R^2)/k}$。
以物体的平衡位置为原点建立坐标系。物体的运动方程为：$m\ddot{x} = -kx + T$，其中$T$是绳子的张力。滑轮的转动方程为：$J\ddot{\theta} = TR$，其中$\theta$是滑轮的角位移，$R$是滑轮的半径。由于绳子与滑轮间无滑动，有$x = R\theta$，即$\ddot{x} = R\ddot{\theta}$。
步骤 2：联立运动方程
将$x = R\theta$代入滑轮的转动方程，得到$J\ddot{x}/R = TR$，即$T = J\ddot{x}/R^2$。将$T$代入物体的运动方程，得到$m\ddot{x} = -kx + J\ddot{x}/R^2$，整理得到$(m + J/R^2)\ddot{x} = -kx$。
步骤 3：求解振动方程
令$\omega^2 = k/(m + J/R^2)$，则振动方程为$\ddot{x} + \omega^2x = 0$，这是一个简谐振动方程。因此，物体作简谐振动，其振动周期为$T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{(m + J/R^2)/k}$。