4-17相对密度0.8的石油以流量50L/s沿直径为150m的管线流动,石油的运动粘度为10cSt,试求每公里管线上的压降(设地形平坦,不计高程差)。若管线全程长10km,终点比起点高20m,终点压强为1大气压,则起点应具备的压头为多

考查要点：本题主要考察流体力学中的达西方程和伯努利方程的应用，涉及流速计算、雷诺数判断流动状态、摩擦系数确定以及压降和压头的计算。

解题核心思路：

1. 计算流速：利用流量公式 $Q = A V$，结合管径计算流速。
2. 判断流动状态：通过雷诺数 $Re = \frac{V D}{\nu}$ 确定流动处于水力光滑区，选择摩擦系数 $\lambda$ 的计算公式。
3. 计算沿程压降：应用达西方程 $\Delta P = \frac{\lambda L V^2}{2gD} \cdot \rho$。
4. 计算起点压头：结合伯努利方程，考虑高程差和终点压强，计算起点绝对压强。

破题关键点：

• 单位统一：注意流量、管径、运动粘度的单位换算。
• 摩擦系数确定：根据雷诺数选择正确的摩擦系数公式（光滑管公式 $\lambda = \frac{0.3164}{\sqrt[4]{Re}}$）。
• 伯努利方程应用：正确处理终点压强与起点压头的关系，注意高程差的叠加。

第（1）问：每公里管线上的压降

计算流速

石油流量 $Q = 50 \, \text{L/s} = 0.05 \, \text{m}^3/\text{s}$，管径 $D = 150 \, \text{mm} = 0.15 \, \text{m}$，横截面积 $A = \frac{\pi D^2}{4}$，则流速：
$V = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2} = \frac{4 \times 0.05}{3.14 \times 0.15^2} \approx 2.83 \, \text{m/s}$

判断流动状态

雷诺数 $Re = \frac{V D}{\nu} = \frac{2.83 \times 0.15}{10 \times 10^{-6}} = 42450 > 2000$，说明流动为紊流水力光滑区。

确定摩擦系数

采用光滑管公式 $\lambda = \frac{0.3164}{\sqrt[4]{Re}} = \frac{0.3164}{\sqrt[4]{42450}} \approx 0.022$。

计算沿程压降

每公里压降公式：
$\Delta P = \lambda \frac{L V^2}{2gD} \cdot \rho = 0.022 \times \frac{1000 \times 2.83^2}{2 \times 9.8 \times 0.15} \times 800 \approx 4.7 \times 10^5 \, \text{Pa}$

第（2）问：起点压头

计算总压降

全程 $10 \, \text{km}$ 的压降：
$h_f = \lambda \frac{L V^2}{2gD} = 0.022 \times \frac{10 \times 10^3 \times 2.83^2}{2 \times 9.8 \times 0.15} \approx 599.3 \, \text{m}$

应用伯努利方程

终点压强 $P_2 = 1 \, \text{大气压} \approx 101325 \, \text{Pa}$，高程差 $\Delta h = 20 \, \text{m}$，起点压头：
$P_1 = P_2 + \rho g (h_f + \Delta h) = 101325 + 800 \times 9.8 \times (599.3 + 20) \approx 4.86 \times 10^6 \, \text{Pa}$