已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽 w 以 3cm/s 的速率增加，则当 l=12cm ， w=5cm 时，它的对角线增加的速率为 ______.

考查要点：本题主要考查相关变化率的应用，涉及链式法则和几何关系的结合使用。

解题核心思路：

1. 建立几何关系：利用勾股定理，将对角线长度与长、宽联系起来。
2. 对时间求导：通过链式法则，将各变量的瞬时变化率联系起来。
3. 代入已知条件：代入具体数值计算对角线的增长速率。

破题关键点：

• 正确写出对角线与长、宽的关系式：$S^2 = l^2 + w^2$。
• 对时间求导时注意链式法则，得到关于$\frac{dS}{dt}$的表达式。
• 代入数值时注意单位一致性，避免计算错误。

步骤1：建立几何关系
根据勾股定理，对角线长度$S$与长$l$、宽$w$的关系为：
$S^2 = l^2 + w^2$

步骤2：对时间$t$求导
对等式两边同时关于$t$求导，应用链式法则：
$2S \cdot \frac{dS}{dt} = 2l \cdot \frac{dl}{dt} + 2w \cdot \frac{dw}{dt}$
两边同除以$2$，化简得：
$S \cdot \frac{dS}{dt} = l \cdot \frac{dl}{dt} + w \cdot \frac{dw}{dt}$

步骤3：代入已知条件
已知当$l=12$ cm，$w=5$ cm时：

• $S = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ cm
• $\frac{dl}{dt} = 2$ cm/s，$\frac{dw}{dt} = 3$ cm/s

代入化简后的公式：
$13 \cdot \frac{dS}{dt} = 12 \cdot 2 + 5 \cdot 3$
计算右侧：
$13 \cdot \frac{dS}{dt} = 24 + 15 = 39$
解得：
$\frac{dS}{dt} = \frac{39}{13} = 3 \, \text{cm/s}$