题目
已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽 w 以 3cm/s 的速率增加，则当 l=12cm ， w=5cm 时，它的对角线增加的速率为 ______.
已知一个长方形的长
题目解答
答案
设对角线长为
则
同时微分得到：
由题意有：
代入上式，可得：
因此本题答案为
解析
步骤 1：定义变量
设长方形的长为 l，宽为 w，对角线长为 S。已知 l 以 2cm/s 的速率增加，w 以 3cm/s 的速率增加。当 l=12cm，w=5cm 时，求对角线 S 的增加速率。
步骤 2：建立关系式
根据勾股定理，长方形的对角线 S 与长 l 和宽 w 的关系为：
S^2 = l^2 + w^2
步骤 3：对关系式进行微分
对上述关系式两边同时对时间 t 求导，得到：
2S * dS/dt = 2l * dl/dt + 2w * dw/dt
简化得到：
S * dS/dt = l * dl/dt + w * dw/dt
步骤 4：代入已知条件
已知 l=12cm，w=5cm，dl/dt=2cm/s，dw/dt=3cm/s。首先计算 S 的值：
S = sqrt(l^2 + w^2) = sqrt(12^2 + 5^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13cm
然后代入 S、l、w、dl/dt 和 dw/dt 的值，求解 dS/dt：
13 * dS/dt = 12 * 2 + 5 * 3
13 * dS/dt = 24 + 15
13 * dS/dt = 39
dS/dt = 39 / 13
dS/dt = 3cm/s
设长方形的长为 l，宽为 w，对角线长为 S。已知 l 以 2cm/s 的速率增加，w 以 3cm/s 的速率增加。当 l=12cm，w=5cm 时，求对角线 S 的增加速率。
步骤 2：建立关系式
根据勾股定理，长方形的对角线 S 与长 l 和宽 w 的关系为：
S^2 = l^2 + w^2
步骤 3：对关系式进行微分
对上述关系式两边同时对时间 t 求导，得到：
2S * dS/dt = 2l * dl/dt + 2w * dw/dt
简化得到：
S * dS/dt = l * dl/dt + w * dw/dt
步骤 4：代入已知条件
已知 l=12cm，w=5cm，dl/dt=2cm/s，dw/dt=3cm/s。首先计算 S 的值：
S = sqrt(l^2 + w^2) = sqrt(12^2 + 5^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13cm
然后代入 S、l、w、dl/dt 和 dw/dt 的值，求解 dS/dt：
13 * dS/dt = 12 * 2 + 5 * 3
13 * dS/dt = 24 + 15
13 * dS/dt = 39
dS/dt = 39 / 13
dS/dt = 3cm/s