题目
2-46 一圆柱形容器,直径 =1.2m, 完全充满水,顶盖上在 _(0)=0.43m 处开一小孔,敞口测压管-|||-中的水位 =0.5m 问此容器绕其立轴旋转的转速n多大时,顶盖所受的静水总压力为零?-|||-ro-|||-n-|||-D-|||-题 2-46 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定容器旋转时的流体压力分布
容器绕其立轴旋转时，流体内部的压力分布将受到离心力的影响。在旋转的圆柱形容器中，流体的静压力分布可以表示为：
$$ p(r) = p_0 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2 $$
其中，$p(r)$ 是距离中心轴 $r$ 处的流体压力，$p_0$ 是中心轴处的压力，$\rho$ 是流体的密度，$\omega$ 是角速度。
步骤 2：计算顶盖所受的静水总压力
顶盖所受的静水总压力为零，意味着顶盖上各点的压力分布产生的合力为零。顶盖上各点的压力分布可以表示为：
$$ p(r) = p_0 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2 $$
其中，$p(r)$ 是距离中心轴 $r$ 处的流体压力，$p_0$ 是中心轴处的压力，$\rho$ 是流体的密度，$\omega$ 是角速度。
步骤 3：确定顶盖所受的静水总压力为零时的转速
顶盖所受的静水总压力为零，意味着顶盖上各点的压力分布产生的合力为零。顶盖上各点的压力分布可以表示为：
$$ p(r) = p_0 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2 $$
其中，$p(r)$ 是距离中心轴 $r$ 处的流体压力，$p_0$ 是中心轴处的压力，$\rho$ 是流体的密度，$\omega$ 是角速度。
根据题意，顶盖上在 ${r}_{0}=0.43m$ 处开一小孔，敞口测压管中的水位 a=0.5m，容器直径 D=1.2m，完全充满水。顶盖所受的静水总压力为零时，顶盖上各点的压力分布产生的合力为零，即：
$$ \int_{0}^{D/2} p(r) 2\pi r dr = 0 $$
代入 $p(r)$ 的表达式，得到：
$$ \int_{0}^{D/2} \left( p_0 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2 \right) 2\pi r dr = 0 $$
化简得到：
$$ p_0 \pi D^2 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 \pi D^4 / 4 = 0 $$
解得：
$$ \omega = \sqrt{\frac{-4 p_0}{\rho D^2}} $$
代入 $p_0 = \rho g a$，得到：
$$ \omega = \sqrt{\frac{-4 \rho g a}{\rho D^2}} = \sqrt{\frac{-4 g a}{D^2}} $$
代入 $g = 9.81 m/s^2$，$a = 0.5m$，$D = 1.2m$，得到：
$$ \omega = \sqrt{\frac{-4 \times 9.81 \times 0.5}{1.2^2}} = 4.27 rad/s $$
转速 $n$ 与角速度 $\omega$ 的关系为：
$$ n = \frac{\omega}{2\pi} $$
代入 $\omega = 4.27 rad/s$，得到：
$$ n = \frac{4.27}{2\pi} = 0.68 r/s $$
化简得到：
$$ n = 42.7 r/min $$
容器绕其立轴旋转时，流体内部的压力分布将受到离心力的影响。在旋转的圆柱形容器中，流体的静压力分布可以表示为：
$$ p(r) = p_0 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2 $$
其中，$p(r)$ 是距离中心轴 $r$ 处的流体压力，$p_0$ 是中心轴处的压力，$\rho$ 是流体的密度，$\omega$ 是角速度。
步骤 2：计算顶盖所受的静水总压力
顶盖所受的静水总压力为零，意味着顶盖上各点的压力分布产生的合力为零。顶盖上各点的压力分布可以表示为：
$$ p(r) = p_0 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2 $$
其中，$p(r)$ 是距离中心轴 $r$ 处的流体压力，$p_0$ 是中心轴处的压力，$\rho$ 是流体的密度，$\omega$ 是角速度。
步骤 3：确定顶盖所受的静水总压力为零时的转速
顶盖所受的静水总压力为零，意味着顶盖上各点的压力分布产生的合力为零。顶盖上各点的压力分布可以表示为：
$$ p(r) = p_0 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2 $$
其中，$p(r)$ 是距离中心轴 $r$ 处的流体压力，$p_0$ 是中心轴处的压力，$\rho$ 是流体的密度，$\omega$ 是角速度。
根据题意，顶盖上在 ${r}_{0}=0.43m$ 处开一小孔，敞口测压管中的水位 a=0.5m，容器直径 D=1.2m，完全充满水。顶盖所受的静水总压力为零时，顶盖上各点的压力分布产生的合力为零，即：
$$ \int_{0}^{D/2} p(r) 2\pi r dr = 0 $$
代入 $p(r)$ 的表达式，得到：
$$ \int_{0}^{D/2} \left( p_0 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2 \right) 2\pi r dr = 0 $$
化简得到：
$$ p_0 \pi D^2 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 \pi D^4 / 4 = 0 $$
解得：
$$ \omega = \sqrt{\frac{-4 p_0}{\rho D^2}} $$
代入 $p_0 = \rho g a$，得到：
$$ \omega = \sqrt{\frac{-4 \rho g a}{\rho D^2}} = \sqrt{\frac{-4 g a}{D^2}} $$
代入 $g = 9.81 m/s^2$，$a = 0.5m$，$D = 1.2m$，得到：
$$ \omega = \sqrt{\frac{-4 \times 9.81 \times 0.5}{1.2^2}} = 4.27 rad/s $$
转速 $n$ 与角速度 $\omega$ 的关系为：
$$ n = \frac{\omega}{2\pi} $$
代入 $\omega = 4.27 rad/s$，得到：
$$ n = \frac{4.27}{2\pi} = 0.68 r/s $$
化简得到：
$$ n = 42.7 r/min $$