3.一半径为R的均匀带电圆盘,电荷面密度为σ,设无穷远处-|||-为电势零点,则圆盘中心O点的电势 _(0)= __

考查要点：本题主要考查带电圆盘中心电势的计算，需要掌握电势的叠加原理和极坐标下的面积积分方法。

解题核心思路：

1. 电势是标量，可直接对圆盘上的每个微小电荷元的电势贡献进行积分求和。
2. 将圆盘划分为无数个同心圆环，计算每个环在中心点产生的电势，再对所有环积分。
3. 利用极坐标系中面积元素的表达式，简化积分过程。

破题关键点：

• 微元法：将圆盘分割为半径为$r$、厚度为$dr$的圆环，环的电荷为$\mathrm{d}q = \sigma \cdot 2\pi r \mathrm{d}r$。
• 单个环的电势贡献：环上所有电荷到中心点的距离均为$r$，因此该环在中心产生的电势为$\mathrm{d}u = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\mathrm{d}q}{r}$。
• 积分范围：$r$从$0$到$R$，最终积分结果与$r$无关，简化计算。

步骤1：建立微元模型

将圆盘分为无数个同心圆环，半径为$r$，厚度为$\mathrm{d}r$。每个环的面积为$2\pi r \mathrm{d}r$，电荷为：
$\mathrm{d}q = \sigma \cdot 2\pi r \mathrm{d}r$

步骤2：计算单个环的电势贡献

环上所有电荷到中心点的距离均为$r$，因此该环在中心产生的电势为：
$\mathrm{d}u = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\mathrm{d}q}{r} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\sigma \cdot 2\pi r \mathrm{d}r}{r} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \mathrm{d}r$

步骤3：对所有环积分

将$r$从$0$到$R$积分，得到总电势：
$u_0 = \int_0^R \mathrm{d}u = \int_0^R \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \mathrm{d}r = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \cdot R = \frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}$