题目
一长直空心柱形导体的横截面如图所示,内、外半径分别为r和R,载有轴向电流I,设电流在其横截面上均匀分布,P为空间任意一点:并且到轴线的距离为d。求:(1B B-B jxop-op)d<r、(2)r<d<R(3)d>R处的磁感应强度B的大小(解:磁面分布有对称性,出邮培环路定理作同心圆形闭合路径如图示:2R-2)φB.d=∑IdkY时,φB·d=ZdB,∑=D0B=0
一长直空心柱形导体的横截面如图所示,内、外半径分别为r和R,载有轴向电流
I,设电流在其横截面上均匀分布,P为空间任意一点:并且到轴线的距离为d。求:(1
B B-B jxop-op)
d<r、(2)r<d<R(3)d>R处的磁感应强度B的大小
(
解:磁面分布有对称性,出邮培环路定理
作同心圆形闭合路径如图示:
2R-2)
φB.d=∑I
dkY时,φB·d=ZdB,∑=D0B=0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁场分布的对称性
由于电流在导体横截面上均匀分布，且导体为长直空心柱形，因此磁场分布具有轴对称性。这意味着磁场线将围绕轴线形成同心圆。
步骤 2：应用安培环路定理
根据安培环路定理，闭合路径上的磁场线积分等于穿过该路径的电流的总和除以真空磁导率μ₀。即：
\[ \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} \]
其中，\( I_{\text{enc}} \) 是穿过闭合路径的电流。
步骤 3：计算不同区域的磁感应强度
- 当 \( d < r \) 时，闭合路径内没有电流，因此磁感应强度 \( B = 0 \)。
- 当 \( r < d < R \) 时，闭合路径内有电流，电流密度 \( J = \frac{I}{\pi (R^2 - r^2)} \)，穿过闭合路径的电流为 \( I_{\text{enc}} = J \pi d^2 = \frac{I d^2}{R^2 - r^2} \)。因此，磁感应强度为：
\[ B = \frac{\mu_0 I d^2}{2 \pi d (R^2 - r^2)} = \frac{\mu_0 I d}{2 \pi (R^2 - r^2)} \]
- 当 \( d > R \) 时，闭合路径内有全部电流 \( I \)，因此磁感应强度为：
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} \]
由于电流在导体横截面上均匀分布，且导体为长直空心柱形，因此磁场分布具有轴对称性。这意味着磁场线将围绕轴线形成同心圆。
步骤 2：应用安培环路定理
根据安培环路定理，闭合路径上的磁场线积分等于穿过该路径的电流的总和除以真空磁导率μ₀。即：
\[ \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} \]
其中，\( I_{\text{enc}} \) 是穿过闭合路径的电流。
步骤 3：计算不同区域的磁感应强度
- 当 \( d < r \) 时，闭合路径内没有电流，因此磁感应强度 \( B = 0 \)。
- 当 \( r < d < R \) 时，闭合路径内有电流，电流密度 \( J = \frac{I}{\pi (R^2 - r^2)} \)，穿过闭合路径的电流为 \( I_{\text{enc}} = J \pi d^2 = \frac{I d^2}{R^2 - r^2} \)。因此，磁感应强度为：
\[ B = \frac{\mu_0 I d^2}{2 \pi d (R^2 - r^2)} = \frac{\mu_0 I d}{2 \pi (R^2 - r^2)} \]
- 当 \( d > R \) 时，闭合路径内有全部电流 \( I \)，因此磁感应强度为：
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} \]