题目
(基训21)如图所示,一内半径为 a、外半径为b的金属球壳,带有电荷 Q,在球壳空腔内距离球心 r处有一点电荷q.设无限远处为电势零点, 试求:(1) 球壳内外表面上的电荷.(2)球心0点处,由球壳内表面上电荷产生的 电势.(3)球心0点处的总电势.
(基训21)如图所示,一内半径为 a、外半径为b的金属球壳,带有电荷 Q,在球壳空腔内距离球心 r处有一点电荷q.设无限远处为电势零点, 试求:
(1) 球壳内外表面上的电荷.(2)球心0点处,由球壳内表面上电荷产生的 电势.(3)球心0点处的总电势.
题目解答
答案
[解析]
(1)球壳内空间点电荷 q偏离圆心,使得球壳内表面电荷分布不均匀, 但球
壳内表面上感应生成的负电荷总量由静电平衡条件得知应为 -q,球壳外表面
处电荷分布不均匀,外表面处总电量为 Q+q。
(2) 球心O点处,由球壳内表面上电荷产生的电势为:
q
4: ; 0a
(3) 球心O点处的总电势是由点电荷 q,球壳内、外表面电荷在 O点产生的电势叠加。
Uq
,U内
4二;r
⏺
⏺
4二;0
解析
步骤 1：确定球壳内外表面的电荷分布
球壳内表面的电荷分布由静电平衡条件决定。由于球壳内表面的电荷会感应出与点电荷 q 相反的电荷，因此球壳内表面的总电荷量为 -q。球壳外表面的电荷分布由球壳整体带电 Q 决定，因此球壳外表面的总电荷量为 Q + q。
步骤 2：计算球心处由球壳内表面电荷产生的电势
球心处由球壳内表面电荷产生的电势可以通过点电荷的电势公式计算。由于球壳内表面的电荷量为 -q，球心到球壳内表面的距离为 a，因此球心处由球壳内表面电荷产生的电势为：
\[ U_{内} = \frac{-q}{4\pi \varepsilon_0 a} \]
步骤 3：计算球心处的总电势
球心处的总电势是由点电荷 q、球壳内表面电荷和球壳外表面电荷在球心处产生的电势叠加。点电荷 q 在球心处产生的电势为：
\[ U_{q} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} \]
球壳外表面电荷在球心处产生的电势为：
\[ U_{外} = \frac{Q + q}{4\pi \varepsilon_0 b} \]
因此，球心处的总电势为：
\[ U_{总} = U_{q} + U_{内} + U_{外} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} + \frac{-q}{4\pi \varepsilon_0 a} + \frac{Q + q}{4\pi \varepsilon_0 b} \]
球壳内表面的电荷分布由静电平衡条件决定。由于球壳内表面的电荷会感应出与点电荷 q 相反的电荷，因此球壳内表面的总电荷量为 -q。球壳外表面的电荷分布由球壳整体带电 Q 决定，因此球壳外表面的总电荷量为 Q + q。
步骤 2：计算球心处由球壳内表面电荷产生的电势
球心处由球壳内表面电荷产生的电势可以通过点电荷的电势公式计算。由于球壳内表面的电荷量为 -q，球心到球壳内表面的距离为 a，因此球心处由球壳内表面电荷产生的电势为：
\[ U_{内} = \frac{-q}{4\pi \varepsilon_0 a} \]
步骤 3：计算球心处的总电势
球心处的总电势是由点电荷 q、球壳内表面电荷和球壳外表面电荷在球心处产生的电势叠加。点电荷 q 在球心处产生的电势为：
\[ U_{q} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} \]
球壳外表面电荷在球心处产生的电势为：
\[ U_{外} = \frac{Q + q}{4\pi \varepsilon_0 b} \]
因此，球心处的总电势为：
\[ U_{总} = U_{q} + U_{内} + U_{外} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r} + \frac{-q}{4\pi \varepsilon_0 a} + \frac{Q + q}{4\pi \varepsilon_0 b} \]