题目
在半径为R的长直圆柱形导体内部,与轴线平行地挖成一半径为 r的长直圆柱形空腔,两轴间距离为a,且a > r ,横截面如图所示。现在电流 I沿导体管流动,电流均匀分布在管的横截面 上,而电流方向与管的轴线平行。求:(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小;(2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小。
在半径为R的长直圆柱形导体内部,与轴线平行地挖成一半径为 r的长直圆柱形空腔,两
轴间距离为a,且a > r ,横截面如图所示。现在电流 I沿导体管流动,电流均匀分布在管的横截面 上,而电流方向与管的轴线平行。求:
(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小;
(2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小。
题目解答
答案
解:在空腔处补上沿导体管流动、在横截面均匀分布的电流 I2和- I 2 ,应用补偿法求解。
电流∣2和-丨2在空间产生的磁场相互抵消,因此空间各点磁场可看作半径为 R、电流
I^I ∣2均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为 r、电流- ∣2均匀分布在横截面上的圆柱导体
产生的磁场的叠加。 I2和I1的大小为
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解析
步骤 1：电流分布与安培环路定理
电流 I 均匀分布在半径为 R 的圆柱形导体横截面上，而空腔部分的电流分布可以看作是导体中电流的缺失。为了求解磁感应强度，我们应用安培环路定理，即 $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$，其中 $I_{\text{enc}}$ 是穿过闭合回路的电流。
步骤 2：计算圆柱轴线上的磁感应强度
在圆柱轴线上，我们考虑一个半径为 R 的圆柱形闭合回路。由于电流 I 均匀分布在导体横截面上，穿过该闭合回路的电流为 I。根据安培环路定理，磁感应强度 B 满足 $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I$。由于 B 的方向与回路方向一致，且 B 的大小在回路上各点相同，我们有 $B \cdot 2\pi R = \mu_0 I$，从而得到 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$。
步骤 3：计算空心部分轴线上的磁感应强度
在空心部分轴线上，我们考虑一个半径为 r 的圆柱形闭合回路。由于电流 I 均匀分布在导体横截面上，穿过该闭合回路的电流为 I。根据安培环路定理，磁感应强度 B 满足 $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I$。由于 B 的方向与回路方向一致，且 B 的大小在回路上各点相同，我们有 $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I$，从而得到 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$。
步骤 4：考虑空腔的影响
由于空腔的存在，我们需要考虑空腔部分对磁感应强度的影响。空腔部分的电流分布可以看作是导体中电流的缺失，因此我们需要计算空腔部分对磁感应强度的贡献。根据安培环路定理，空腔部分的磁感应强度满足 $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$，其中 $I_{\text{enc}}$ 是穿过闭合回路的电流。由于空腔部分的电流分布是均匀的，穿过该闭合回路的电流为 $I_{\text{enc}} = I \frac{r^2}{R^2}$。因此，空腔部分的磁感应强度满足 $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \frac{r^2}{R^2}$，从而得到 $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}$。
步骤 5：计算空心部分轴线上的磁感应强度
空心部分轴线上的磁感应强度为导体部分和空腔部分的磁感应强度的叠加。因此，空心部分轴线上的磁感应强度为 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} - \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}$。
电流 I 均匀分布在半径为 R 的圆柱形导体横截面上，而空腔部分的电流分布可以看作是导体中电流的缺失。为了求解磁感应强度，我们应用安培环路定理，即 $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$，其中 $I_{\text{enc}}$ 是穿过闭合回路的电流。
步骤 2：计算圆柱轴线上的磁感应强度
在圆柱轴线上，我们考虑一个半径为 R 的圆柱形闭合回路。由于电流 I 均匀分布在导体横截面上，穿过该闭合回路的电流为 I。根据安培环路定理，磁感应强度 B 满足 $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I$。由于 B 的方向与回路方向一致，且 B 的大小在回路上各点相同，我们有 $B \cdot 2\pi R = \mu_0 I$，从而得到 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$。
步骤 3：计算空心部分轴线上的磁感应强度
在空心部分轴线上，我们考虑一个半径为 r 的圆柱形闭合回路。由于电流 I 均匀分布在导体横截面上，穿过该闭合回路的电流为 I。根据安培环路定理，磁感应强度 B 满足 $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I$。由于 B 的方向与回路方向一致，且 B 的大小在回路上各点相同，我们有 $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I$，从而得到 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$。
步骤 4：考虑空腔的影响
由于空腔的存在，我们需要考虑空腔部分对磁感应强度的影响。空腔部分的电流分布可以看作是导体中电流的缺失，因此我们需要计算空腔部分对磁感应强度的贡献。根据安培环路定理，空腔部分的磁感应强度满足 $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$，其中 $I_{\text{enc}}$ 是穿过闭合回路的电流。由于空腔部分的电流分布是均匀的，穿过该闭合回路的电流为 $I_{\text{enc}} = I \frac{r^2}{R^2}$。因此，空腔部分的磁感应强度满足 $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \frac{r^2}{R^2}$，从而得到 $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}$。
步骤 5：计算空心部分轴线上的磁感应强度
空心部分轴线上的磁感应强度为导体部分和空腔部分的磁感应强度的叠加。因此，空心部分轴线上的磁感应强度为 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} - \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}$。