题目
8-14 两个均匀磁场区域的半径分别为 _(1)=21.2cm 和 _(2)=32.3cm, 磁感应强度分别为 _(1)=-|||-48.6mT和 _(2)=77.2mT, 方向如图所示,两个磁场正以 8.5mT/s 的变化率减小,试分别计算感应电场对三-|||-个回路的环流ϕE、dl各是多少?-|||-R1. R-|||-习题 8-14 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定回路的感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，回路的感应电动势等于磁通量的变化率。对于均匀磁场，磁通量 $\Phi$ 可以表示为 $\Phi = B \cdot A$，其中 $B$ 是磁感应强度，$A$ 是回路的面积。因此，感应电动势 $E$ 可以表示为 $E = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d(B \cdot A)}{dt}$。由于题目中给出的磁场变化率是恒定的，我们可以直接计算感应电动势。
步骤 2：计算每个回路的感应电动势
对于回路a，磁通量的变化率等于磁场变化率乘以回路a的面积。由于磁场变化率是负的，感应电动势也是负的。对于回路b和c，由于它们的面积不同，感应电动势也会不同。具体计算如下：
- 回路a：$E_a = -\frac{d(B_1 \cdot A_1)}{dt} = -B_1 \cdot \frac{dA_1}{dt} = -B_1 \cdot \pi R_1^2 \cdot \frac{dB}{dt}$
- 回路b：$E_b = -\frac{d(B_2 \cdot A_2)}{dt} = -B_2 \cdot \frac{dA_2}{dt} = -B_2 \cdot \pi R_2^2 \cdot \frac{dB}{dt}$
- 回路c：$E_c = -\frac{d(B_1 \cdot A_1 + B_2 \cdot A_2)}{dt} = -B_1 \cdot \pi R_1^2 \cdot \frac{dB}{dt} - B_2 \cdot \pi R_2^2 \cdot \frac{dB}{dt}$
步骤 3：代入数值计算
将题目中给出的数值代入上述公式，计算每个回路的感应电动势。
- 回路a：$E_a = -48.6 \times 10^{-3} \cdot \pi \cdot (21.2 \times 10^{-2})^2 \cdot (-8.5 \times 10^{-3})$
- 回路b：$E_b = -77.2 \times 10^{-3} \cdot \pi \cdot (32.3 \times 10^{-2})^2 \cdot (-8.5 \times 10^{-3})$
- 回路c：$E_c = -48.6 \times 10^{-3} \cdot \pi \cdot (21.2 \times 10^{-2})^2 \cdot (-8.5 \times 10^{-3}) - 77.2 \times 10^{-3} \cdot \pi \cdot (32.3 \times 10^{-2})^2 \cdot (-8.5 \times 10^{-3})$
根据法拉第电磁感应定律，回路的感应电动势等于磁通量的变化率。对于均匀磁场，磁通量 $\Phi$ 可以表示为 $\Phi = B \cdot A$，其中 $B$ 是磁感应强度，$A$ 是回路的面积。因此，感应电动势 $E$ 可以表示为 $E = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d(B \cdot A)}{dt}$。由于题目中给出的磁场变化率是恒定的，我们可以直接计算感应电动势。
步骤 2：计算每个回路的感应电动势
对于回路a，磁通量的变化率等于磁场变化率乘以回路a的面积。由于磁场变化率是负的，感应电动势也是负的。对于回路b和c，由于它们的面积不同，感应电动势也会不同。具体计算如下：
- 回路a：$E_a = -\frac{d(B_1 \cdot A_1)}{dt} = -B_1 \cdot \frac{dA_1}{dt} = -B_1 \cdot \pi R_1^2 \cdot \frac{dB}{dt}$
- 回路b：$E_b = -\frac{d(B_2 \cdot A_2)}{dt} = -B_2 \cdot \frac{dA_2}{dt} = -B_2 \cdot \pi R_2^2 \cdot \frac{dB}{dt}$
- 回路c：$E_c = -\frac{d(B_1 \cdot A_1 + B_2 \cdot A_2)}{dt} = -B_1 \cdot \pi R_1^2 \cdot \frac{dB}{dt} - B_2 \cdot \pi R_2^2 \cdot \frac{dB}{dt}$
步骤 3：代入数值计算
将题目中给出的数值代入上述公式，计算每个回路的感应电动势。
- 回路a：$E_a = -48.6 \times 10^{-3} \cdot \pi \cdot (21.2 \times 10^{-2})^2 \cdot (-8.5 \times 10^{-3})$
- 回路b：$E_b = -77.2 \times 10^{-3} \cdot \pi \cdot (32.3 \times 10^{-2})^2 \cdot (-8.5 \times 10^{-3})$
- 回路c：$E_c = -48.6 \times 10^{-3} \cdot \pi \cdot (21.2 \times 10^{-2})^2 \cdot (-8.5 \times 10^{-3}) - 77.2 \times 10^{-3} \cdot \pi \cdot (32.3 \times 10^{-2})^2 \cdot (-8.5 \times 10^{-3})$