题目
1.2.3 两个相距为L的点带电体所带电荷分别为2q和 (qgt 0), 将第三个点带电体放在何处时,它所-|||-受的合力为零?
题目解答
答案
解析
步骤 1：设定问题
设第三个点带电体的电荷为 $Q$，它位于两个点带电体之间，距离带电体 $2q$ 的距离为 $x$，则距离带电体 $q$ 的距离为 $L-x$。
步骤 2：应用库仑定律
根据库仑定律，两个点电荷之间的力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。因此，第三个点带电体受到的两个力分别为：
$$F_1 = k\frac{2qQ}{x^2}$$
$$F_2 = k\frac{qQ}{(L-x)^2}$$
其中 $k$ 是库仑常数。
步骤 3：合力为零的条件
当第三个点带电体所受的合力为零时，$F_1$ 和 $F_2$ 的大小相等，方向相反。因此，我们有：
$$k\frac{2qQ}{x^2} = k\frac{qQ}{(L-x)^2}$$
简化得到：
$$\frac{2}{x^2} = \frac{1}{(L-x)^2}$$
进一步简化得到：
$$2(L-x)^2 = x^2$$
展开并整理得到：
$$2L^2 - 4Lx + 2x^2 = x^2$$
$$2L^2 - 4Lx + x^2 = 0$$
$$x^2 - 4Lx + 2L^2 = 0$$
这是一个关于 $x$ 的二次方程，可以使用求根公式求解：
$$x = \frac{4L \pm \sqrt{(4L)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2L^2}}{2 \cdot 1}$$
$$x = \frac{4L \pm \sqrt{16L^2 - 8L^2}}{2}$$
$$x = \frac{4L \pm \sqrt{8L^2}}{2}$$
$$x = \frac{4L \pm 2\sqrt{2}L}{2}$$
$$x = 2L \pm \sqrt{2}L$$
由于 $x$ 必须在 $0$ 和 $L$ 之间，我们选择较小的根：
$$x = 2L - \sqrt{2}L$$
$$x = L(2 - \sqrt{2})$$
$$x = (\sqrt{2} - 1)L$$
设第三个点带电体的电荷为 $Q$，它位于两个点带电体之间，距离带电体 $2q$ 的距离为 $x$，则距离带电体 $q$ 的距离为 $L-x$。
步骤 2：应用库仑定律
根据库仑定律，两个点电荷之间的力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。因此，第三个点带电体受到的两个力分别为：
$$F_1 = k\frac{2qQ}{x^2}$$
$$F_2 = k\frac{qQ}{(L-x)^2}$$
其中 $k$ 是库仑常数。
步骤 3：合力为零的条件
当第三个点带电体所受的合力为零时，$F_1$ 和 $F_2$ 的大小相等，方向相反。因此，我们有：
$$k\frac{2qQ}{x^2} = k\frac{qQ}{(L-x)^2}$$
简化得到：
$$\frac{2}{x^2} = \frac{1}{(L-x)^2}$$
进一步简化得到：
$$2(L-x)^2 = x^2$$
展开并整理得到：
$$2L^2 - 4Lx + 2x^2 = x^2$$
$$2L^2 - 4Lx + x^2 = 0$$
$$x^2 - 4Lx + 2L^2 = 0$$
这是一个关于 $x$ 的二次方程，可以使用求根公式求解：
$$x = \frac{4L \pm \sqrt{(4L)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2L^2}}{2 \cdot 1}$$
$$x = \frac{4L \pm \sqrt{16L^2 - 8L^2}}{2}$$
$$x = \frac{4L \pm \sqrt{8L^2}}{2}$$
$$x = \frac{4L \pm 2\sqrt{2}L}{2}$$
$$x = 2L \pm \sqrt{2}L$$
由于 $x$ 必须在 $0$ 和 $L$ 之间，我们选择较小的根：
$$x = 2L - \sqrt{2}L$$
$$x = L(2 - \sqrt{2})$$
$$x = (\sqrt{2} - 1)L$$