5.12如题5.12图所示,水从铅直圆管向下流出。已知 _(1)=10cm, 管口处的水流速度 (nu )_(1)=1.8m/s, 试-|||-求管口下方 h=2m 处的水流速度v2和直径d2。-|||-d1-|||-v1-|||-d2-|||-v2-|||-题5.12图

步骤 1：应用伯努利方程
伯努利方程描述了流体在不同位置的压强、速度和高度之间的关系。对于不可压缩流体，伯努利方程可以写为：
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \]
其中，$P$ 是压强，$\rho$ 是流体密度，$v$ 是流速，$g$ 是重力加速度，$h$ 是高度。假设在两个位置的压强相同（即 $P_1 = P_2$），则方程简化为：
\[ \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \]
步骤 2：计算水流速度 $v_2$
将已知值代入简化后的伯努利方程中，得到：
\[ \frac{1}{2} v_1^2 + g h_1 = \frac{1}{2} v_2^2 + g h_2 \]
代入 $v_1 = 1.8m/s$，$h_1 = 0$，$h_2 = -2m$，$g = 9.8m/s^2$，解得：
\[ \frac{1}{2} (1.8)^2 + 9.8 \times 0 = \frac{1}{2} v_2^2 + 9.8 \times (-2) \]
\[ 1.62 = \frac{1}{2} v_2^2 - 19.6 \]
\[ \frac{1}{2} v_2^2 = 21.22 \]
\[ v_2^2 = 42.44 \]
\[ v_2 = \sqrt{42.44} \approx 6.5m/s \]
步骤 3：应用连续性方程
连续性方程描述了流体在不同位置的流量守恒，即：
\[ A_1 v_1 = A_2 v_2 \]
其中，$A$ 是横截面积。对于圆管，横截面积 $A = \pi d^2 / 4$，代入得到：
\[ \frac{\pi d_1^2}{4} v_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} v_2 \]
代入 $d_1 = 10cm$，$v_1 = 1.8m/s$，$v_2 = 6.5m/s$，解得：
\[ d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2 \]
\[ (10cm)^2 \times 1.8m/s = d_2^2 \times 6.5m/s \]
\[ 180cm^2 = d_2^2 \times 6.5 \]
\[ d_2^2 = \frac{180}{6.5} \]
\[ d_2^2 = 27.69 \]
\[ d_2 = \sqrt{27.69} \approx 5.2cm \]