题目
例 2-12 有一质量为4kg的质点在力 =2xyi+3(x)^2j(SI) 的作用下,由静止开始沿曲-|||-线 ^2=9y 从点O(0,0)运动到点Q(3,1),试求质点运动到Q点时的速度的大小。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算质点从点O(0,0)到点Q(3,1)的功
根据功的定义，质点在力 $F=2xyi+3{x}^{2}j(SI)$ 的作用下，沿曲线 ${x}^{2}=9y$ 从点O(0,0)运动到点Q(3,1)的功为：
$W={\int }_{0}^{a}p\cdot dr={\int }_{0}^{a}({F}_{2}dx+{F}_{3}dy)={\int }_{0}^{a}(2xydx+3{x}^{2}dy)$
将 ${x}^{2}=9y$ 代入上式，得：
$W={\int }_{0}^{0}(\dfrac {2}{9}{x}^{3}dx+27ydy)={\int }_{0}^{2}\dfrac {2}{9}{x}^{3}dx+{\int }_{0}^{1}27ydy$
步骤 2：计算积分
计算积分，得：
$W={\int }_{0}^{3}\dfrac {2}{9}{x}^{3}dx+{\int }_{0}^{1}27ydy$
$W=\dfrac {2}{9}\times \dfrac {1}{4}{x}^{4}{|}_{0}^{3}+27\times \dfrac {1}{2}{y}^{2}{|}_{0}^{1}$
$W=\dfrac {2}{9}\times \dfrac {1}{4}\times {3}^{4}+27\times \dfrac {1}{2}\times {1}^{2}$
$W=18(J)$
步骤 3：计算质点在Q点的速度
由动能定理 $W=\dfrac {1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\dfrac {1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$ ，且知 ${v}_{1}=0$ ，故Q点速度为：
${v}_{a}={v}_{2}=\sqrt {\dfrac {2w}{m}}=\sqrt {\dfrac {36}{4}}=3(m/s)$
根据功的定义，质点在力 $F=2xyi+3{x}^{2}j(SI)$ 的作用下，沿曲线 ${x}^{2}=9y$ 从点O(0,0)运动到点Q(3,1)的功为：
$W={\int }_{0}^{a}p\cdot dr={\int }_{0}^{a}({F}_{2}dx+{F}_{3}dy)={\int }_{0}^{a}(2xydx+3{x}^{2}dy)$
将 ${x}^{2}=9y$ 代入上式，得：
$W={\int }_{0}^{0}(\dfrac {2}{9}{x}^{3}dx+27ydy)={\int }_{0}^{2}\dfrac {2}{9}{x}^{3}dx+{\int }_{0}^{1}27ydy$
步骤 2：计算积分
计算积分，得：
$W={\int }_{0}^{3}\dfrac {2}{9}{x}^{3}dx+{\int }_{0}^{1}27ydy$
$W=\dfrac {2}{9}\times \dfrac {1}{4}{x}^{4}{|}_{0}^{3}+27\times \dfrac {1}{2}{y}^{2}{|}_{0}^{1}$
$W=\dfrac {2}{9}\times \dfrac {1}{4}\times {3}^{4}+27\times \dfrac {1}{2}\times {1}^{2}$
$W=18(J)$
步骤 3：计算质点在Q点的速度
由动能定理 $W=\dfrac {1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\dfrac {1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$ ，且知 ${v}_{1}=0$ ，故Q点速度为：
${v}_{a}={v}_{2}=\sqrt {\dfrac {2w}{m}}=\sqrt {\dfrac {36}{4}}=3(m/s)$