题目
例 2 - 14 ;水平托架如图所示 ; 承受的重物 G = 20 kN ; A , B , C 各处均为铰链连接 ; 各杆的自重不计，试求托架 A 、B 两 处的约束反力。2m B 1m-|||-A 45°-|||-D-|||-C
例 2 - 14 ;水平托架如图所示 ; 承受的重物 G = 20 kN ;
A , B , C 各处均为铰链连接 ; 各杆的自重不计，试求托架 A 、B 两 处的约束反力。
题目解答
答案
解：取托架水平杆AD作为研究对象，对其进行受力分析，取直角坐标系x-y，列平衡方程为：
所以得：
解析
步骤 1：确定研究对象
选取托架的水平杆AD作为研究对象，因为该杆件直接与重物G接触，且其受力情况可以代表整个托架的受力情况。
步骤 2：受力分析
对杆AD进行受力分析，考虑其在A、B两点的约束反力${F}_{Ax}$、${F}_{Ay}$和${F}_{B}$，以及重物G的重力P。由于各处均为铰链连接，所以约束反力${F}_{Ax}$、${F}_{Ay}$和${F}_{B}$的方向可以假设为未知，但它们的大小和方向可以通过平衡方程求解。
步骤 3：建立平衡方程
在直角坐标系x-y中，根据力的平衡条件，建立以下平衡方程：
- 水平方向的力平衡方程：$\sum {F}_{x}=0$，即$-{F}_{Ax}+{F}_{B}\cos {45}^{\circ }=0$
- 竖直方向的力平衡方程：$\sum {F}_{y}=0$，即$-{F}_{Ay}+{F}_{B}\sin {45}^{\circ }-P=0$
- 对点A的力矩平衡方程：$\sum _{A}^{n}(F)=0$，即${F}_{B}\sin {45}^{\circ }\times 2-3P=0$
步骤 4：求解平衡方程
根据上述平衡方程，可以求解出${F}_{Ax}$、${F}_{Ay}$和${F}_{B}$的值。
- 从力矩平衡方程中解出${F}_{B}$：${F}_{B}=\frac{3P}{2\sin {45}^{\circ }}=\frac{3\times 20}{2\times \frac{\sqrt{2}}{2}}=30\sqrt{2}kN$
- 代入水平方向的力平衡方程中解出${F}_{Ax}$：${F}_{Ax}={F}_{B}\cos {45}^{\circ }=30\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=30kN$
- 代入竖直方向的力平衡方程中解出${F}_{Ay}$：${F}_{Ay}={F}_{B}\sin {45}^{\circ }-P=30\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-20=10kN$
选取托架的水平杆AD作为研究对象，因为该杆件直接与重物G接触，且其受力情况可以代表整个托架的受力情况。
步骤 2：受力分析
对杆AD进行受力分析，考虑其在A、B两点的约束反力${F}_{Ax}$、${F}_{Ay}$和${F}_{B}$，以及重物G的重力P。由于各处均为铰链连接，所以约束反力${F}_{Ax}$、${F}_{Ay}$和${F}_{B}$的方向可以假设为未知，但它们的大小和方向可以通过平衡方程求解。
步骤 3：建立平衡方程
在直角坐标系x-y中，根据力的平衡条件，建立以下平衡方程：
- 水平方向的力平衡方程：$\sum {F}_{x}=0$，即$-{F}_{Ax}+{F}_{B}\cos {45}^{\circ }=0$
- 竖直方向的力平衡方程：$\sum {F}_{y}=0$，即$-{F}_{Ay}+{F}_{B}\sin {45}^{\circ }-P=0$
- 对点A的力矩平衡方程：$\sum _{A}^{n}(F)=0$，即${F}_{B}\sin {45}^{\circ }\times 2-3P=0$
步骤 4：求解平衡方程
根据上述平衡方程，可以求解出${F}_{Ax}$、${F}_{Ay}$和${F}_{B}$的值。
- 从力矩平衡方程中解出${F}_{B}$：${F}_{B}=\frac{3P}{2\sin {45}^{\circ }}=\frac{3\times 20}{2\times \frac{\sqrt{2}}{2}}=30\sqrt{2}kN$
- 代入水平方向的力平衡方程中解出${F}_{Ax}$：${F}_{Ax}={F}_{B}\cos {45}^{\circ }=30\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=30kN$
- 代入竖直方向的力平衡方程中解出${F}_{Ay}$：${F}_{Ay}={F}_{B}\sin {45}^{\circ }-P=30\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-20=10kN$