题目
3.8 已知速度场 _(x)=x(y)^2, _(y)=-dfrac (1)(3)(y)^3 ,u2=xy, 试求:(1)点(1,2,3 )的-|||-加速度;(2)是几维流动;(3)是恒定流还是非恒定流;(4)是均匀流还-|||-是非均匀流。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算点(1,2,3)的加速度
根据流体力学中的加速度公式，加速度向量 $\vec{a}$ 可以表示为：
$$
\vec{a} = \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}
$$
其中，$\vec{u}$ 是速度向量，$\nabla$ 是梯度算子。由于题目中没有给出时间变化的信息，我们假设这是一个恒定流，即 $\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = 0$。因此，加速度向量简化为：
$$
\vec{a} = (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}
$$
对于给定的速度场，我们有：
$$
\vec{u} = u_x \hat{i} + u_y \hat{j} + u_z \hat{k} = xy^2 \hat{i} - \frac{1}{3}y^3 \hat{j} + xy \hat{k}
$$
其中，$\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ 分别是 $x$, $y$, $z$ 方向的单位向量。因此，加速度向量的分量可以表示为：
$$
a_x = u_x \frac{\partial u_x}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_x}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_x}{\partial z}
$$
$$
a_y = u_x \frac{\partial u_y}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_y}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_y}{\partial z}
$$
$$
a_z = u_x \frac{\partial u_z}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_z}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z}
$$
将速度场的分量代入上述公式，计算点(1,2,3)的加速度分量：
$$
a_x = xy^2 \frac{\partial (xy^2)}{\partial x} + (-\frac{1}{3}y^3) \frac{\partial (xy^2)}{\partial y} + xy \frac{\partial (xy^2)}{\partial z}
$$
$$
a_y = xy^2 \frac{\partial (-\frac{1}{3}y^3)}{\partial x} + (-\frac{1}{3}y^3) \frac{\partial (-\frac{1}{3}y^3)}{\partial y} + xy \frac{\partial (-\frac{1}{3}y^3)}{\partial z}
$$
$$
a_z = xy^2 \frac{\partial (xy)}{\partial x} + (-\frac{1}{3}y^3) \frac{\partial (xy)}{\partial y} + xy \frac{\partial (xy)}{\partial z}
$$
代入点(1,2,3)的坐标值，计算加速度分量：
$$
a_x = 1 \cdot 2^2 \cdot 2^2 + (-\frac{1}{3} \cdot 2^3) \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 0 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}
$$
$$
a_y = 1 \cdot 2^2 \cdot 0 + (-\frac{1}{3} \cdot 2^3) \cdot (-\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 2^2) + 1 \cdot 2 \cdot 0 = 0 + \frac{16}{3} = \frac{16}{3}
$$
$$
a_z = 1 \cdot 2^2 \cdot 1 + (-\frac{1}{3} \cdot 2^3) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
$$
因此，点(1,2,3)的加速度为：
$$
\vec{a} = \frac{32}{3} \hat{i} + \frac{16}{3} \hat{j} + \frac{4}{3} \hat{k}
$$
步骤 2：确定是几维流动
根据速度场的分量，可以看出速度场在 $x$, $y$, $z$ 方向上都有非零分量，因此这是一个三维流动。
步骤 3：判断是恒定流还是非恒定流
由于题目中没有给出时间变化的信息，我们假设这是一个恒定流。
步骤 4：判断是均匀流还是非均匀流
根据速度场的分量，可以看出速度场在 $x$, $y$, $z$ 方向上都有非零分量，且这些分量是空间坐标的函数，因此这是一个非均匀流。
根据流体力学中的加速度公式，加速度向量 $\vec{a}$ 可以表示为：
$$
\vec{a} = \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}
$$
其中，$\vec{u}$ 是速度向量，$\nabla$ 是梯度算子。由于题目中没有给出时间变化的信息，我们假设这是一个恒定流，即 $\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = 0$。因此，加速度向量简化为：
$$
\vec{a} = (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}
$$
对于给定的速度场，我们有：
$$
\vec{u} = u_x \hat{i} + u_y \hat{j} + u_z \hat{k} = xy^2 \hat{i} - \frac{1}{3}y^3 \hat{j} + xy \hat{k}
$$
其中，$\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ 分别是 $x$, $y$, $z$ 方向的单位向量。因此，加速度向量的分量可以表示为：
$$
a_x = u_x \frac{\partial u_x}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_x}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_x}{\partial z}
$$
$$
a_y = u_x \frac{\partial u_y}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_y}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_y}{\partial z}
$$
$$
a_z = u_x \frac{\partial u_z}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_z}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z}
$$
将速度场的分量代入上述公式，计算点(1,2,3)的加速度分量：
$$
a_x = xy^2 \frac{\partial (xy^2)}{\partial x} + (-\frac{1}{3}y^3) \frac{\partial (xy^2)}{\partial y} + xy \frac{\partial (xy^2)}{\partial z}
$$
$$
a_y = xy^2 \frac{\partial (-\frac{1}{3}y^3)}{\partial x} + (-\frac{1}{3}y^3) \frac{\partial (-\frac{1}{3}y^3)}{\partial y} + xy \frac{\partial (-\frac{1}{3}y^3)}{\partial z}
$$
$$
a_z = xy^2 \frac{\partial (xy)}{\partial x} + (-\frac{1}{3}y^3) \frac{\partial (xy)}{\partial y} + xy \frac{\partial (xy)}{\partial z}
$$
代入点(1,2,3)的坐标值，计算加速度分量：
$$
a_x = 1 \cdot 2^2 \cdot 2^2 + (-\frac{1}{3} \cdot 2^3) \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 0 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}
$$
$$
a_y = 1 \cdot 2^2 \cdot 0 + (-\frac{1}{3} \cdot 2^3) \cdot (-\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 2^2) + 1 \cdot 2 \cdot 0 = 0 + \frac{16}{3} = \frac{16}{3}
$$
$$
a_z = 1 \cdot 2^2 \cdot 1 + (-\frac{1}{3} \cdot 2^3) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
$$
因此，点(1,2,3)的加速度为：
$$
\vec{a} = \frac{32}{3} \hat{i} + \frac{16}{3} \hat{j} + \frac{4}{3} \hat{k}
$$
步骤 2：确定是几维流动
根据速度场的分量，可以看出速度场在 $x$, $y$, $z$ 方向上都有非零分量，因此这是一个三维流动。
步骤 3：判断是恒定流还是非恒定流
由于题目中没有给出时间变化的信息，我们假设这是一个恒定流。
步骤 4：判断是均匀流还是非均匀流
根据速度场的分量，可以看出速度场在 $x$, $y$, $z$ 方向上都有非零分量，且这些分量是空间坐标的函数，因此这是一个非均匀流。