题目
一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动.另一质量为m_0的子弹以速度V射入轮缘(如题3.17图所示方向).v0-|||-题3.17图 (1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?(2)用m, m_0和0*表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比.
一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动.另一质量为$$m_0$$的子弹以速度V射入轮缘(如题3.17图所示方向).
(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?(2)用m,
$$m_0$$和0*表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定角动量守恒
在子弹射入轮缘的过程中，系统受到的外力矩为零，因此系统的角动量守恒。子弹射入前，轮是静止的，子弹射入后，轮开始转动，子弹嵌入轮缘，两者一起转动。
步骤 2：计算角动量守恒方程
子弹射入前的角动量为子弹的线动量乘以射入点到轴心的距离，即$$m_0vR\sin\theta$$。子弹射入后，轮和子弹一起转动，其角动量为$$I\omega$$，其中$$I$$是轮和子弹的转动惯量，$$\omega$$是角速度。轮的转动惯量为$$mR^2$$，子弹嵌入轮缘后，其转动惯量为$$m_0R^2$$，因此总转动惯量为$$I=(m+m_0)R^2$$。根据角动量守恒，有$$m_0vR\sin\theta=(m+m_0)R^2\omega$$。
步骤 3：求解角速度
从角动量守恒方程中解出角速度$$\omega$$，得到$$\omega=\frac{m_0v\sin\theta}{(m+m_0)R}$$。
步骤 4：计算动能比
子弹射入前的动能为$$\frac{1}{2}m_0v^2$$，子弹射入后的动能为$$\frac{1}{2}I\omega^2$$。将$$I$$和$$\omega$$的表达式代入，得到子弹射入后的动能为$$\frac{1}{2}(m+m_0)R^2\left(\frac{m_0v\sin\theta}{(m+m_0)R}\right)^2=\frac{1}{2}\frac{m_0^2v^2\sin^2\theta}{m+m_0}$$。因此，动能比为$$\frac{\frac{1}{2}\frac{m_0^2v^2\sin^2\theta}{m+m_0}}{\frac{1}{2}m_0v^2}=\frac{m_0\sin^2\theta}{m+m_0}$$。
在子弹射入轮缘的过程中，系统受到的外力矩为零，因此系统的角动量守恒。子弹射入前，轮是静止的，子弹射入后，轮开始转动，子弹嵌入轮缘，两者一起转动。
步骤 2：计算角动量守恒方程
子弹射入前的角动量为子弹的线动量乘以射入点到轴心的距离，即$$m_0vR\sin\theta$$。子弹射入后，轮和子弹一起转动，其角动量为$$I\omega$$，其中$$I$$是轮和子弹的转动惯量，$$\omega$$是角速度。轮的转动惯量为$$mR^2$$，子弹嵌入轮缘后，其转动惯量为$$m_0R^2$$，因此总转动惯量为$$I=(m+m_0)R^2$$。根据角动量守恒，有$$m_0vR\sin\theta=(m+m_0)R^2\omega$$。
步骤 3：求解角速度
从角动量守恒方程中解出角速度$$\omega$$，得到$$\omega=\frac{m_0v\sin\theta}{(m+m_0)R}$$。
步骤 4：计算动能比
子弹射入前的动能为$$\frac{1}{2}m_0v^2$$，子弹射入后的动能为$$\frac{1}{2}I\omega^2$$。将$$I$$和$$\omega$$的表达式代入，得到子弹射入后的动能为$$\frac{1}{2}(m+m_0)R^2\left(\frac{m_0v\sin\theta}{(m+m_0)R}\right)^2=\frac{1}{2}\frac{m_0^2v^2\sin^2\theta}{m+m_0}$$。因此，动能比为$$\frac{\frac{1}{2}\frac{m_0^2v^2\sin^2\theta}{m+m_0}}{\frac{1}{2}m_0v^2}=\frac{m_0\sin^2\theta}{m+m_0}$$。