题目
一匀质细棒长度 l 质量 m 可绕通过一端且与其垂直的水平光滑固定轴 O 转动如图所示，棒自水平位置由静止摆下，求 ( 1 ) 当=dfrac (pi )(3)时棒对转轴的合外力矩 ; ( 2 ) 下摆到任意角度 =dfrac (pi )(3) 时的角加速度
一匀质细棒长度 l 质量 m 可绕通过一端且与其垂直的水平光滑固定轴 O 转动如图所示，棒自水平位置由静止摆下，求
( 1 ) 当
时棒对转轴的合外力矩 ;
( 2 ) 下摆到任意角度 
时的角加速度
题目解答
答案
（1）合外力矩
其中杆的重心在
处，所以
就有
（2）下摆到任意角度时的合外力矩为
，杆的转动惯量为
带入公式
解得角加速度
。
解析
步骤 1：计算合外力矩
当棒摆到角度$\theta = \dfrac{\pi}{3}$时，棒的重心在距离转轴$\dfrac{l}{2}$的位置。此时，重力对转轴的力矩为$M = F \cdot r \cdot \sin \theta$，其中$F = mg$，$r = \dfrac{l}{2}$，$\theta = \dfrac{\pi}{3}$。因此，合外力矩$M = mg \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \sin \dfrac{\pi}{3}$。
步骤 2：计算任意角度时的合外力矩
当棒摆到任意角度$\theta$时，重力对转轴的力矩为$M = mg \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \sin (\dfrac{\pi}{2} - \theta)$，因为$\sin (\dfrac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$，所以$M = mg \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \cos \theta$。
步骤 3：计算任意角度时的角加速度
根据转动定律$M = J \cdot \alpha$，其中$J$为转动惯量，$\alpha$为角加速度。对于细棒绕一端转动，其转动惯量$J = \dfrac{1}{3}ml^2$。将$M = mg \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \cos \theta$代入，得到$\alpha = \dfrac{M}{J} = \dfrac{mg \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \cos \theta}{\dfrac{1}{3}ml^2} = \dfrac{3g}{2l} \cos \theta$。
当棒摆到角度$\theta = \dfrac{\pi}{3}$时，棒的重心在距离转轴$\dfrac{l}{2}$的位置。此时，重力对转轴的力矩为$M = F \cdot r \cdot \sin \theta$，其中$F = mg$，$r = \dfrac{l}{2}$，$\theta = \dfrac{\pi}{3}$。因此，合外力矩$M = mg \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \sin \dfrac{\pi}{3}$。
步骤 2：计算任意角度时的合外力矩
当棒摆到任意角度$\theta$时，重力对转轴的力矩为$M = mg \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \sin (\dfrac{\pi}{2} - \theta)$，因为$\sin (\dfrac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$，所以$M = mg \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \cos \theta$。
步骤 3：计算任意角度时的角加速度
根据转动定律$M = J \cdot \alpha$，其中$J$为转动惯量，$\alpha$为角加速度。对于细棒绕一端转动，其转动惯量$J = \dfrac{1}{3}ml^2$。将$M = mg \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \cos \theta$代入，得到$\alpha = \dfrac{M}{J} = \dfrac{mg \cdot \dfrac{l}{2} \cdot \cos \theta}{\dfrac{1}{3}ml^2} = \dfrac{3g}{2l} \cos \theta$。