设有平面应力状态, σ x = ax + by , σ y = cx + dy , τ xy = − dx − ay − γx ,其中 a, b, c, d 均为常数, γ 为容重。该应力状态满足平衡微分方程,其体力是( )A. f x = 0 , f y = 0B. f x ≠ 0 , f y = 0C. f x ≠ 0 , f y ≠ 0D. f x = 0 , f y ≠ 0

步骤 1：写出平衡微分方程
在平面应力状态下，平衡微分方程为：
\[
\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + f_x = 0
\]
\[
\frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + f_y = 0
\]
其中，\(f_x\) 和 \(f_y\) 分别是体力在 \(x\) 和 \(y\) 方向的分量。

步骤 2：代入应力分量
代入给定的应力分量 \(\sigma_x = ax + by\)，\(\sigma_y = cx + dy\)，\(\tau_{xy} = -dx - ay - \gamma x\)，计算偏导数：
\[
\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} = a, \quad \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} = -a
\]
\[
\frac{\partial \sigma_y}{\partial y} = d, \quad \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} = -d - \gamma
\]

步骤 3：求解体力分量
将偏导数代入平衡微分方程：
\[
a - a + f_x = 0 \Rightarrow f_x = 0
\]
\[
d - d - \gamma + f_y = 0 \Rightarrow f_y = \gamma
\]
因此，体力分量为 \(f_x = 0\)，\(f_y = \gamma\)。